Quantos inteiros positivos diferentes podem ser expressos em k dígitos usando números da base R ?

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que já temos:
  • Está dada uma base de numeração \,R, (um inteiro positivo).
  • Queremos formar números escritos com exatamente \,k\ dígitos nessa base.
  • A pergunta: quantos inteiros positivos diferentes podem ser expressos usando exatamente \,k\ dígitos na base \,R\ ?
    Observações importantes que vou assumir porque são padrão: \,R\ge2\ e \,k\ge1\ (base 1 não é a base posicional usual; e “k dígitos” com k\ge1). Também é implícito que os dígitos permitidos na base \,R são os inteiros \,0,1,\dots,R-1\ e que um número escrito com exatamente \,k\ dígitos não pode ter zero como primeiro dígito (caso contrário seria escrito com menos dígitos).

Passo 2

Vamos usar a regra fundamental da contagem (princípio multiplicativo). Explicando essa ideia de forma bem prática: se um processo é composto por etapas independentes e a primeira etapa tem a opções e a segunda tem b opções, então o número total de resultados possíveis é a\cdot b. Para mais etapas, multiplica-se o número de opções de cada etapa. Aqui cada posição de dígito é uma etapa: escolher o primeiro dígito, escolher o segundo, etc. As escolhas para cada posição seguem regras (primeira posição não permite zero; as demais permitem zero), então vamos contar opções por posição e multiplicar.

Passo 3

Contagem de opções para o primeiro dígito (o dígito mais significativo):
  • Os dígitos possíveis na base \,R são \,0,1,\dots,R-1.
  • Como não permitimos que o número tenha primeiro dígito zero (para ter exatamente k dígitos), o primeiro dígito pode ser qualquer um dos \,1,2,\dots,R-1.
    Portanto o número de opções para o primeiro dígito é \,R-1.

Passo 4

Contagem de opções para cada um dos dígitos restantes (do segundo ao k-ésimo):
  • Cada uma dessas posições pode receber qualquer dígito de \,0 até \,R-1, ou seja, \,R\ opções por posição.
  • \,k-1\ tais posições (porque já contamos o primeiro dígito).
    Pelo princípio multiplicativo, as opções combinadas para as \,k-1\ posições finais são \,R^{\,k-1}\ (multiplicando \,R\ por si mesma \,k-1\ vezes).

Passo 5

Agora multiplico as opções do primeiro dígito pelas opções das demais posições para obter o total de números de exatamente \,k\ dígitos:
\text{total} = (R-1)\cdot R^{\,k-1}.
Aqui a lógica é: escolha do primeiro dígito ( R-1 possibilidades) multiplicada pelas escolhas independentes das outras \,k-1\ posições ( R^{\,k-1} possibilidades).

Passo 6

Verificações rápidas para fixar a intuição:
  • Em base \,10\ com \,k=3\ (números de três dígitos decimais) a fórmula dá (10-1)\cdot10^{2}=9\cdot100=900, que são os inteiros de 100 a 999.
  • Em base \,2\ com \,k=3\ (números binários de três dígitos) a fórmula dá (2-1)\cdot2^{2}=1\cdot4=4, que são os binários 100,101,110,111 (ou em decimal 4,5,6,7).
  • Caso k=1 a fórmula dá (R-1)\cdot R^{0}=R-1, ou seja, os inteiros positivos representáveis com um dígito são exatamente 1,2,\dots,R-1, conforme esperado.

Passo 7

Observações finais e condições de validade: a fórmula (R-1)R^{k-1} vale para \,R\ge2\ e \,k\ge1. Se alguém usasse leading zeros e permitisse que o primeiro dígito fosse zero, aí o número de sequências de k dígitos (não necessariamente representando números com exatamente k dígitos) seria simplesmente R^{k}, mas essa não é a interpretação pedida aqui.

Resposta

(R-1)\,R^{\,k-1}

Exercícios relacionados