Quantos inteiros positivos diferentes podem ser expressos em k dígitos usando números da base R ?
Passo 1
Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e o que já temos:
- Está dada uma base de numeração
, (um inteiro positivo). - Queremos formar números escritos com exatamente
\ dígitos nessa base. - A pergunta: quantos inteiros positivos diferentes podem ser expressos usando exatamente
\ dígitos na base \ ?
Observações importantes que vou assumir porque são padrão:\ e \ (base 1 não é a base posicional usual; e “k dígitos” com ). Também é implícito que os dígitos permitidos na base são os inteiros \ e que um número escrito com exatamente \ dígitos não pode ter zero como primeiro dígito (caso contrário seria escrito com menos dígitos).
Passo 2
Vamos usar a regra fundamental da contagem (princípio multiplicativo). Explicando essa ideia de forma bem prática: se um processo é composto por etapas independentes e a primeira etapa tem
opções e a segunda tem
opções, então o número total de resultados possíveis é
. Para mais etapas, multiplica-se o número de opções de cada etapa. Aqui cada posição de dígito é uma etapa: escolher o primeiro dígito, escolher o segundo, etc. As escolhas para cada posição seguem regras (primeira posição não permite zero; as demais permitem zero), então vamos contar opções por posição e multiplicar.
Passo 3
Contagem de opções para o primeiro dígito (o dígito mais significativo):
- Os dígitos possíveis na base
são . - Como não permitimos que o número tenha primeiro dígito zero (para ter exatamente
dígitos), o primeiro dígito pode ser qualquer um dos .
Portanto o número de opções para o primeiro dígito é.
Passo 4
Contagem de opções para cada um dos dígitos restantes (do segundo ao k-ésimo):
- Cada uma dessas posições pode receber qualquer dígito de
até , ou seja, \ opções por posição. - Há
\ tais posições (porque já contamos o primeiro dígito).
Pelo princípio multiplicativo, as opções combinadas para as\ posições finais são \ (multiplicando \ por si mesma \ vezes).
Passo 5
Agora multiplico as opções do primeiro dígito pelas opções das demais posições para obter o total de números de exatamente
\ dígitos:
Aqui a lógica é: escolha do primeiro dígito (
possibilidades) multiplicada pelas escolhas independentes das outras
\ posições (
possibilidades).
Passo 6
Verificações rápidas para fixar a intuição:
- Em base
\ com \ (números de três dígitos decimais) a fórmula dá , que são os inteiros de a . - Em base
\ com \ (números binários de três dígitos) a fórmula dá , que são os binários (ou em decimal ). - Caso
a fórmula dá , ou seja, os inteiros positivos representáveis com um dígito são exatamente , conforme esperado.
Passo 7
Observações finais e condições de validade: a fórmula
vale para
\ e
. Se alguém usasse leading zeros e permitisse que o primeiro dígito fosse zero, aí o número de sequências de
dígitos (não necessariamente representando números com exatamente
dígitos) seria simplesmente
, mas essa não é a interpretação pedida aqui.