De quantos modos podemos comprar 5 tortas de uma loja onde há 3 tipos de tortas?

Passo 1

O enunciado dá que há 3 tipos de tortas e queremos comprar 5 tortas. Vou explicitar as suposições normalmente implícitas neste tipo de problema (não te pergunto nada, apenas adoto o caso padrão): cada tipo tem estoque suficiente (isto é, podemos escolher 0, 1, 2, … tortas de um mesmo tipo) e tortas do mesmo tipo são indistinguíveis entre si. A pergunta é: de quantos modos diferentes podemos escolher a quantidade de tortas de cada tipo de forma que o total seja 5?

Passo 2

Modelagem: seja x_1 o número de tortas do tipo 1, x_2 do tipo 2 e x_3 do tipo 3. Então cada x_i é um inteiro não negativo ( x_i\ge 0) e devemos ter
x_1+x_2+x_3=5.
Contar de quantos modos podemos comprar as 5 tortas equivale a contar o número de soluções inteiras não negativas dessa equação.

Passo 3

Ideia combinatória (representação “estrelas e barras”): imagine escrever 5 estrelas em sequência, uma estrela por cada torta comprada:
\star\\ \star\\ \star\\ \star\\ \star
Agora, para separar quantas estrelas vão para o tipo 1, tipo 2 e tipo 3, colocamos 2 barras entre as estrelas (as barras marcam fronteiras entre tipos). Por exemplo,
\star\\ \star\\ |\\ \star\\ \star\\ \star\\ |
significa x_1=2,\\ x_2=3,\\ x_3=0. Qualquer distribuição de 5 estrelas em 3 caixas corresponde a uma disposição das 5 estrelas e 2 barras em sequência. Logo, contar distribuições é contar arranjos de 5 estrelas idênticas e 2 barras idênticas numa fila de comprimento 5+2=7.

Passo 4

Cada arranjo corresponde a escolher quais 2 das 7 posições serão ocupadas pelas barras (as demais ficam com estrelas). Assim o número de arranjos é o número de escolhas de 2 posições entre 7, isto é
\binom{7}{2}.
Alternativamente poderia-se escolher as 5 posições das estrelas e obter \binom{7}{5}, que é igual a \binom{7}{2}.

Passo 5

Lembrando a definição do coeficiente binomial:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n\cdot(n-1)\cdots1. Então
\binom{7}{2}=\frac{7!}{2!\,5!}=\frac{7\cdot6\cdot5!}{2\cdot1\cdot5!}=\frac{7\cdot6}{2} = 7\cdot3 = 21.
Mostrei a simplificação passo a passo para você conseguir fazer sem calculadora na prova.

Passo 6

Resumo e dica prática: o resultado é 21. A técnica usada aqui generaliza: o número de maneiras de distribuir n objetos idênticos entre k tipos (permitindo zero em um tipo) é
\binom{n+k-1}{k-1}.
Para este problema temos n=5 e k=3, dando \binom{7}{2}=21.

Resposta

21

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