De quantos modos podemos comprar 5 tortas de uma loja onde há 3 tipos de tortas?
Passo 1
O enunciado dá que há 3 tipos de tortas e queremos comprar 5 tortas. Vou explicitar as suposições normalmente implícitas neste tipo de problema (não te pergunto nada, apenas adoto o caso padrão): cada tipo tem estoque suficiente (isto é, podemos escolher 0, 1, 2, … tortas de um mesmo tipo) e tortas do mesmo tipo são indistinguíveis entre si. A pergunta é: de quantos modos diferentes podemos escolher a quantidade de tortas de cada tipo de forma que o total seja 5?
Passo 2
Modelagem: seja
o número de tortas do tipo 1,
do tipo 2 e
do tipo 3. Então cada
é um inteiro não negativo (
) e devemos ter
Contar de quantos modos podemos comprar as 5 tortas equivale a contar o número de soluções inteiras não negativas dessa equação.
Passo 3
Ideia combinatória (representação “estrelas e barras”): imagine escrever 5 estrelas em sequência, uma estrela por cada torta comprada:
Agora, para separar quantas estrelas vão para o tipo 1, tipo 2 e tipo 3, colocamos 2 barras entre as estrelas (as barras marcam fronteiras entre tipos). Por exemplo,
significa
. Qualquer distribuição de 5 estrelas em 3 caixas corresponde a uma disposição das 5 estrelas e 2 barras em sequência. Logo, contar distribuições é contar arranjos de 5 estrelas idênticas e 2 barras idênticas numa fila de comprimento
.
Passo 4
Cada arranjo corresponde a escolher quais 2 das 7 posições serão ocupadas pelas barras (as demais ficam com estrelas). Assim o número de arranjos é o número de escolhas de 2 posições entre 7, isto é
Alternativamente poderia-se escolher as 5 posições das estrelas e obter
, que é igual a
.
Passo 5
Lembrando a definição do coeficiente binomial:
onde
(fatorial) é
. Então
Mostrei a simplificação passo a passo para você conseguir fazer sem calculadora na prova.
Passo 6
Resumo e dica prática: o resultado é
. A técnica usada aqui generaliza: o número de maneiras de distribuir
objetos idênticos entre
tipos (permitindo zero em um tipo) é
Para este problema temos
e
, dando
.