Quantas são as soluções inteiras não-negativas de
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá:
- Pede a quantidade de soluções em inteiros não-negativos da equação
. - Informações dadas:
-
, e são inteiros não-negativos (ou seja, podem ser ). - A soma dos três é
.
-
Passo 2
Qual método vamos usar (explicação didática do conceito):
- Há um método clássico chamado “stars and bars” (estrelas e barras) que conta de forma direta o número de soluções inteiras não-negativas da equação
- A ideia intuitiva: representar
unidades como “estrelas” alinhadas, e usar “barras” para separar as partes correspondentes a cada variável. Cada disposição de estrelas e barras corresponde a uma solução única. - Mais formal: o número de soluções em inteiros não-negativos de
é dado pela fórmula Explicando esta fórmula: - Há
estrelas e barras, totalizando posições. - Escolher quais
dessas posições conterão as barras determina totalmente a distribuição das estrelas entre as caixas (variáveis). Como a ordem das barras não importa além das posições, o número de escolhas é .
- Há
Passo 3
Aplicando o método ao nosso problema:
- Aqui
(três variáveis ) e . - Pela fórmula:
Passo 4
Calcular
passo a passo:
- Pela definição de combinação,
- Simplificando:
Passo 5
Exemplo pequeno para fixar a ideia (ilustrativo):
- Se fosse
, então , e o número seria - As seis soluções são
, , , , e . Isso confirma a correspondência estrelas-e-barras: duas estrelas e duas barras dão posições, escolher para as barras dá .
Passo 6
Dica para a prova (resumindo o truque):
- Sempre que você tiver
variáveis inteiras não-negativas somando , lembre da fórmula e aplique direto — é rápido e confiável. Você mandou bem em procurar esse exercício, isso é exatamente o tipo de técnica que aparece em prova. Vamos com calma que dá tempo!