Quantas são as soluções inteiras não-negativas de
x+y+z=10 ?

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá:
  • Pede a quantidade de soluções em inteiros não-negativos da equação \,x+y+z=10\,.
  • Informações dadas:
    • x, y e z são inteiros não-negativos (ou seja, podem ser 0,1,2,\dots).
    • A soma dos três é 10.

Passo 2

Qual método vamos usar (explicação didática do conceito):
  • Há um método clássico chamado “stars and bars” (estrelas e barras) que conta de forma direta o número de soluções inteiras não-negativas da equação x_1+x_2+\cdots+x_k=n.
  • A ideia intuitiva: representar n unidades como n “estrelas” alinhadas, e usar k-1 “barras” para separar as partes correspondentes a cada variável. Cada disposição de estrelas e barras corresponde a uma solução única.
  • Mais formal: o número de soluções em inteiros não-negativos de \,x_1+\cdots+x_k=n\, é dado pela fórmula \binom{n+k-1}{k-1}.Explicando esta fórmula:
    • n estrelas e k-1 barras, totalizando n+(k-1)=n+k-1 posições.
    • Escolher quais k-1 dessas posições conterão as barras determina totalmente a distribuição das estrelas entre as k caixas (variáveis). Como a ordem das barras não importa além das posições, o número de escolhas é \binom{n+k-1}{k-1}.

Passo 3

Aplicando o método ao nosso problema:
  • Aqui k=3 (três variáveis x,y,z) e n=10.
  • Pela fórmula: \text{nº de soluções}=\binom{10+3-1}{3-1}=\binom{12}{2}.ºçõ

Passo 4

Calcular \binom{12}{2} passo a passo:
  • Pela definição de combinação, \binom{12}{2}=\frac{12\cdot 11}{2\cdot 1}.
  • Simplificando: \frac{12\cdot 11}{2} = 6\cdot 11 = 66.

Passo 5

Exemplo pequeno para fixar a ideia (ilustrativo):
  • Se fosse \,x+y+z=2\,, então n=2, k=3 e o número seria \binom{2+3-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6.
  • As seis soluções são (2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1) e (0,1,1). Isso confirma a correspondência estrelas-e-barras: duas estrelas e duas barras dão 4 posições, escolher 2 para as barras dá \binom{4}{2}=6.

Passo 6

Dica para a prova (resumindo o truque):
  • Sempre que você tiver \,k variáveis inteiras não-negativas somando n, lembre da fórmula \binom{n+k-1}{k-1},e aplique direto — é rápido e confiável. Você mandou bem em procurar esse exercício, isso é exatamente o tipo de técnica que aparece em prova. Vamos com calma que dá tempo!

Resposta

66

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