Quantos números diferentes podem ser formados multiplicando alguns (ou todos) dos números 1,5,6,7,7,9,9,9 ?

Passo 1

O enunciado pede quantos produtos distintos podemos obter ao escolher alguns (ou todos) dos números 1,5,6,7,7,9,9,9 e multiplicá-los. Aqui vamos usar a ideia de fatorar cada número em primos e depois contar quantos vetores de expoentes diferentes são possíveis.

Passo 2

Fatoramos cada número em primos:
1\\ (\text{sem efeito}),\quad 5=5,\quad 6=2\cdot3,\quad 7=7,\quad 7=7,\quad 9=3^2,\quad 9=3^2,\quad 9=3^2.
Note que há uma cópia de 5, uma de 6, duas de 7 e três de 9. O 1 não altera o produto, então só importa que ele existe para gerar o produto 1.

Passo 3

Seja o produto escolhido qualquer combinação de cópias, então seu fator primo geral será
2^a\,3^b\,5^c\,7^d,
onde
  • a vem apenas do 6, logo a\in\{0,1\}.
  • b vem da soma das potências de 3 de 6 (que dá 3^1 se incluído) e das até três cópias de 9. Se i\in\{0,1\} é a escolha do 6 e j\in\{0,1,2,3\} é o número de cópias de 9, então b=i+2j. Assim todos os valores b=0,1,2,3,4 são alcançáveis.
  • c vem de 5, logo c\in\{0,1\}.
  • d vem das duas cópias de 7, logo d\in\{0,1,2\}.

Passo 4

Cada quádrupla (a,b,c,d) distinta gera um produto distinto. O número de possibilidades é
\#\{a\}\times\#\{b\}\times\#\{c\}\times\#\{d\} =2\times5\times2\times3=60.

Resposta

60

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