Quantos números diferentes podem ser formados multiplicando alguns (ou todos) dos números
?
Passo 1
O enunciado pede quantos produtos distintos podemos obter ao escolher alguns (ou todos) dos números
e multiplicá-los. Aqui vamos usar a ideia de fatorar cada número em primos e depois contar quantos vetores de expoentes diferentes são possíveis.
Passo 2
Fatoramos cada número em primos:
Note que há uma cópia de
, uma de
, duas de
e três de
. O
não altera o produto, então só importa que ele existe para gerar o produto
.
Passo 3
Seja o produto escolhido qualquer combinação de cópias, então seu fator primo geral será
onde
-
vem apenas do , logo . -
vem da soma das potências de de (que dá se incluído) e das até três cópias de . Se é a escolha do e é o número de cópias de , então . Assim todos os valores são alcançáveis. -
vem de , logo . -
vem das duas cópias de , logo .
Passo 4
Cada quádrupla
distinta gera um produto distinto. O número de possibilidades é