Qual é a soma dos divisores inteiros e positivos de 720? De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? e de três inteiros?
Passo 1
O enunciado pede três coisas sobre o inteiro
:
- A soma de todos os seus divisores inteiros e positivos.
- O número de maneiras de escrever
como produto de dois inteiros positivos. - O número de maneiras de escrever
como produto de três inteiros positivos.
O conteúdo usado será a fatoração prima de
, a fórmula para a soma de divisores e a contagem de distribuições de expoentes (combinatória de “estrelinhas e barras”).
Passo 2
Fatoramos
em primos:
Isso nos dá os expoentes
,
,
.
Passo 3
A soma dos divisores de um número
:
Calculando cada fator:
Logo
Passo 4
O número de divisores de
é
Para
temos
Passo 5
Cada divisor
de
determina um par ordenado
com
. Portanto há exatamente
decomposições ordenadas em dois fatores positivos.
Se quisermos contar não ordenadas (isto é, só pares sem distinguir
de
), como
não é quadrado perfeito, o número é
.
Se quisermos contar não ordenadas (isto é, só pares
Passo 6
Para três fatores ordenados
com
, distribuímos os expoentes de cada primo entre
.
- Para
temos modos. - Para
temos modos. - Para
temos modos.
Multiplicando os três resultados, o total de decomposições ordenadas em três fatores é
Resposta
A soma dos divisores de
é
.
Há modos ordenados de escrevê-lo como produto de dois inteiros positivos (ou
se não distinguir ordem).
Há modos ordenados de escrevê-lo como produto de três inteiros positivos.
Há
Há