Qual é a soma dos divisores inteiros e positivos de 720? De quantos modos 720 pode ser decomposto em um produto de dois inteiros positivos? e de três inteiros?

Passo 1

O enunciado pede três coisas sobre o inteiro 720:
  1. A soma de todos os seus divisores inteiros e positivos.
  2. O número de maneiras de escrever 720 como produto de dois inteiros positivos.
  3. O número de maneiras de escrever 720 como produto de três inteiros positivos.
O conteúdo usado será a fatoração prima de 720, a fórmula para a soma de divisores e a contagem de distribuições de expoentes (combinatória de “estrelinhas e barras”).

Passo 2

Fatoramos 720 em primos:
720 = 2^4 \times 3^2 \times 5^1.
Isso nos dá os expoentes \alpha=4, \beta=2, \gamma=1.

Passo 3

A soma dos divisores de um número n=\prod p_i^{e_i}$ é \[\sigma(n)=\prod_{i}\frac{p_i^{\,e_i+1}-1}{p_i-1}.\] Aplicando a \(720:
\sigma(720) =\frac{2^{4+1}-1}{2-1}\;\times\;\frac{3^{2+1}-1}{3-1}\;\times\;\frac{5^{1+1}-1}{5-1} = (2^5-1)\times\frac{3^3-1}{2}\times\frac{5^2-1}{4}.
Calculando cada fator:
2^5-1=31,\quad\frac{3^3-1}{2}=\frac{27-1}{2}=13,\quad\frac{5^2-1}{4}=\frac{25-1}{4}=6.
Logo
\sigma(720)=31\times13\times6=2418.)

Passo 4

O número de divisores de n=\prod p_i^{e_i} é
d(n)=\prod_i(e_i+1).
Para 720 temos
d(720)=(4+1)(2+1)(1+1)=5\times3\times2=30.

Passo 5

Cada divisor a de 720 determina um par ordenado (a,b) com a\cdot b=720. Portanto há exatamente d(720)=30 decomposições ordenadas em dois fatores positivos.
Se quisermos contar não ordenadas (isto é, só pares \{a,b\} sem distinguir (a,b) de (b,a)), como 720 não é quadrado perfeito, o número é 30/2=15.

Passo 6

Para três fatores ordenados (a,b,c) com abc=720, distribuímos os expoentes de cada primo entre a,b,c.
  • Para 2^4 temos \binom{4+3-1}{3-1}=\binom{6}{2}=15 modos.
  • Para 3^2 temos \binom{2+3-1}{3-1}=\binom{4}{2}=6 modos.
  • Para 5^1 temos \binom{1+3-1}{3-1}=\binom{3}{2}=3 modos.
Multiplicando os três resultados, o total de decomposições ordenadas em três fatores é
15\times6\times3=270.

Resposta

A soma dos divisores de 720 é 2418.
30 modos ordenados de escrevê-lo como produto de dois inteiros positivos (ou 15 se não distinguir ordem).
270 modos ordenados de escrevê-lo como produto de três inteiros positivos.

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