Quantos planos passam por dois pontos distintos?

Passo 1

O enunciado dá dois pontos distintos e pergunta quantos planos passam por ambos.
Informações claras e isoladas:
  • Dois pontos distintos: A e B (ou, equivalentemente, seus vetores posição \vec{a} e \vec{b}).
  • Pergunta: determinar a quantidade de planos que contêm simultaneamente A e B.

Passo 2

Primeiro fato importante (que vou explicar): dois pontos distintos determinam uma reta única. Vou mostrar isso de forma concreta. Seja \vec{a} o vetor posição de A e \vec{b} o vetor posição de B. A reta \ell que passa por A e B pode ser escrita parametricamente como
\vec{r}(t)=\vec{a}+t(\vec{b}-\vec{a}),\qquad t\in\mathbb{R}.
Explicando: o vetor \vec{b}-\vec{a} dá a direção da reta; variando t obtém-se todos os pontos da reta. Essa representação mostra que existe pelo menos uma reta que contém A e B. Para ver que é única: qualquer outra reta que contivesse A e B teria que ter a mesma direção (proporcional a \vec{b}-\vec{a}), logo seria a mesma reta. Portanto há exatamente uma reta \ell que contém A e B.

Passo 3

Observação lógica: um plano que contenha A e B necessariamente contém a reta \ell que passa por A e B. Assim, contar os planos que passam por A e B é o mesmo que contar os planos que contêm a reta \ell.

Passo 4

Agora: quantos planos contêm uma reta dada \ell? Vou mostrar um método construtivo e por que há infinitos:
  • Construtivamente: escolha qualquer ponto C que não esteja sobre a reta \ell. Os três pontos A, B e C são não colineares, e três pontos não colineares determinam um plano único (o plano que contém os três). Assim cada escolha de C\notin\ell fornece um plano que contém \ell.
  • Unicidade do plano dado C: se um plano contém \ell e também contém C, então ele contém A,B,C; mas o plano determinado por A,B,C é único, logo qualquer plano que contenha \ell e C deve ser exatamente esse plano. Portanto há uma correspondência entre escolher um ponto C\notin\ell e obter um plano contendo \ell.
  • Existem infinitos pontos fora de \ell: no espaço euclidiano existem infinitos (na verdade incontáveis) pontos que não estão sobre \ell. Por exemplo, tomando coordenadas, se \ell for o eixo x em \mathbb{R}^3 (pontos (t,0,0)), qualquer ponto (0,y,z) com (y,z)\neq(0,0) é um ponto fora de \ell e cada escolha de (y,z) diferente gera um plano diferente que contém \ell. Assim há infinitas escolhas de C, e cada escolha dá um plano distinto.
Uma outra visão (mais algébrica) ajuda a intuir: um plano contendo \ell tem vetor normal \vec{n} ortogonal à direção de \ell. A condição de ortogonalidade admite infinitas direções para \vec{n} (formam um plano de direções), portanto há infinitos planos com normas diferentes, logo infinitos planos contendo \ell.

Passo 5

Resumo didático para a prova (como responder de forma curta mas justificando): primeiro diga que dois pontos distintos determinam uma reta única \ell. Depois explique que todo plano que passa por esses dois pontos contém \ell. Em seguida diga que para cada ponto C fora de \ell existe exatamente um plano que contém \ell e C; como há infinitos pontos fora de \ell, conclui-se que existem infinitos planos que passam por A e B. Se quiser reforçar: pode mencionar o exemplo coordenado rápido (p. ex. A=(0,0,0), B=(1,0,0); qualquer ponto (0,y,z) com (y,z)\neq(0,0) gera um plano distinto).
Força aí — a resposta é fácil, o que importa na prova é dizer a justificativa em 2–3 linhas, como mostrei.

Resposta

Infinitos planos.

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