Quantos planos passam por dois pontos distintos?
Passo 1
O enunciado dá dois pontos distintos e pergunta quantos planos passam por ambos.
Informações claras e isoladas:
Informações claras e isoladas:
- Dois pontos distintos:
e (ou, equivalentemente, seus vetores posição e ). - Pergunta: determinar a quantidade de planos que contêm simultaneamente
e .
Passo 2
Primeiro fato importante (que vou explicar): dois pontos distintos determinam uma reta única. Vou mostrar isso de forma concreta. Seja
o vetor posição de
e
o vetor posição de
. A reta
que passa por
e
pode ser escrita parametricamente como
Explicando: o vetor
dá a direção da reta; variando
obtém-se todos os pontos da reta. Essa representação mostra que existe pelo menos uma reta que contém
e
. Para ver que é única: qualquer outra reta que contivesse
e
teria que ter a mesma direção (proporcional a
), logo seria a mesma reta. Portanto há exatamente uma reta
que contém
e
.
Passo 3
Observação lógica: um plano que contenha
e
necessariamente contém a reta
que passa por
e
. Assim, contar os planos que passam por
e
é o mesmo que contar os planos que contêm a reta
.
Passo 4
Agora: quantos planos contêm uma reta dada
? Vou mostrar um método construtivo e por que há infinitos:
-
Construtivamente: escolha qualquer ponto
que não esteja sobre a reta . Os três pontos , e são não colineares, e três pontos não colineares determinam um plano único (o plano que contém os três). Assim cada escolha de fornece um plano que contém . -
Unicidade do plano dado
: se um plano contém e também contém , então ele contém ; mas o plano determinado por é único, logo qualquer plano que contenha e deve ser exatamente esse plano. Portanto há uma correspondência entre escolher um ponto e obter um plano contendo . -
Existem infinitos pontos fora de
: no espaço euclidiano existem infinitos (na verdade incontáveis) pontos que não estão sobre . Por exemplo, tomando coordenadas, se for o eixo em (pontos ), qualquer ponto com é um ponto fora de e cada escolha de diferente gera um plano diferente que contém . Assim há infinitas escolhas de , e cada escolha dá um plano distinto.
Uma outra visão (mais algébrica) ajuda a intuir: um plano contendo
tem vetor normal
ortogonal à direção de
. A condição de ortogonalidade admite infinitas direções para
(formam um plano de direções), portanto há infinitos planos com normas diferentes, logo infinitos planos contendo
.
Passo 5
Resumo didático para a prova (como responder de forma curta mas justificando): primeiro diga que dois pontos distintos determinam uma reta única
. Depois explique que todo plano que passa por esses dois pontos contém
. Em seguida diga que para cada ponto
fora de
existe exatamente um plano que contém
e
; como há infinitos pontos fora de
, conclui-se que existem infinitos planos que passam por
e
. Se quiser reforçar: pode mencionar o exemplo coordenado rápido (p. ex.
,
; qualquer ponto
com
gera um plano distinto).
Força aí — a resposta é fácil, o que importa na prova é dizer a justificativa em 2–3 linhas, como mostrei.
Resposta
Infinitos planos.