Verifique se o sistema linear abaixo é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\\\ 2 x+2 y+2 z=2 \\\ x+y+z=3 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá um sistema linear com três equações e três incógnitas. Vou listar claramente o que é pedido e os dados fornecidos.
  • Sistema:
\left\{\begin{array}{l} x+y+z=1 \\[4pt] 2x+2y+2z=2 \\[4pt] x+y+z=3 \end{array}\right.
  • O que o problema pede: verificar se o sistema é
    • possível e determinado (tem exatamente uma solução),
    • possível e indeterminado (tem infinitas soluções),
    • ou impossível (não tem solução).
  • Informações relevantes dadas (retiradas diretamente do enunciado):
    • As três equações são x+y+z=1, 2x+2y+2z=2 e x+y+z=3.]

Passo 2

Escolha do método. Não foi exigido um método específico, então vou usar eliminação de Gauss (redução por linhas) porque é direto, prático para ver redundâncias e contradições, e fácil de aplicar sem cálculo complexo. Também vou explicar o conceito de posto (rank) e a condição de compatibilidade (teorema de Rouché–Capelli) para interpretar o resultado.
Breve explicação do que vou usar:
  • Eliminação de Gauss: aplicar operações nas linhas do sistema (ou do matríz aumentada) para simplificar e evidenciar se há solução e quantas.
  • Teorema de Rouché–Capelli (explicado depois): compara o posto da matriz dos coeficientes com o posto da matriz aumentada para decidir compatibilidade.

Passo 3

Escrever a matriz aumentada do sistema. É a forma conveniente para aplicar eliminações:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 1 & 3 \end{array}\right]
Aqui as primeiras três colunas são os coeficientes de x,y,z e a última coluna é o termo independente (lado direito das equações).]

Passo 4

Aplicar operações de linha para simplificar (eliminação). Vou zerar entradas abaixo do primeiro pivô (primeira linha, primeiro elemento):
  • Fazer R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1: R_2: \\ (2,2,2\mid2) - 2\cdot(1,1,1\mid1) = (0,0,0\mid0).
  • Fazer R_3 \leftarrow R_3 - R_1: R_3: \\ (1,1,1\mid3) - (1,1,1\mid1) = (0,0,0\mid2).
A matriz aumentada depois dessas operações fica:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{array}\right]]

Passo 5

Interpretação direta do resultado da eliminação. A terceira linha agora é
0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 2,
ou seja, 0 = 2, que é uma contradição lógica (impossível). Isso mostra que não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça todas as equações simultaneamente.

Passo 6

Explicação pelo ponto de vista de posto (rank) e do teorema de Rouché–Capelli, para consolidar o entendimento.
  • Definição rápida e intuitiva de posto: o posto de uma matriz é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Em termos práticos na eliminação, é o número de linhas não-nulas que restam depois de reduzir a matriz por linhas.
  • Matriz dos coeficientes (sem a coluna dos termos independentes) é
    \left[\begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\[4pt] 2 & 2 & 2\\[4pt] 1 & 1 & 1 \end{array}\right].
    Observação: todas as linhas são múltiplos umas das outras (por exemplo, a segunda é 2 vezes a primeira), então o posto da matriz dos coeficientes é \,1.
  • Matriz aumentada, após redução, ficou com duas linhas não-nulas (a primeira e a terceira linha reduzem a uma linha não-nula do tipo (0,0,0\mid2)), portanto o posto da matriz aumentada é \,2.
  • Teorema de Rouché–Capelli: um sistema linear é compatível (tem solução) se, e somente se, o posto da matriz dos coeficientes for igual ao posto da matriz aumentada. Se esses postos forem diferentes, o sistema é incompatível (não tem solução).
Aqui temos:
\text{posto da matriz dos coeficientes} = 1,\qquad \text{posto da matriz aumentada} = 2,
portanto os postos são diferentes e, pela condição acima, o sistema é incompatível.]

Passo 7

Resumo do raciocínio de forma direta e encorajadora: ao fazer eliminação obtivemos a equação contraditória 0=2, e a comparação de postos confirma que a matriz aumentada tem posto maior que a matriz de coeficientes. Ambos os caminhos mostram que não existe solução para o sistema.

Resposta

impossível

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