Quantos são os elementos do conjunto \{1,2, \ldots, 500\} que são divisíveis por 3 ou 5 mas não são divisíveis por 7 ?

Passo 1

O enunciado pede a quantidade de inteiros em \{1,2,\dots,500\} que são múltiplos de 3 ou de 5, mas não são múltiplos de 7. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para contar: primeiro quantos são múltiplos de 3 ou 5; depois subtrair os que também são múltiplos de 7.

Passo 2

Seja \,A=\{n\le500\mid3\mid n\}, \,B=\{n\le500\mid5\mid n\}.
Usando inclusão-exclusão,
|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|.
Temos
|A|=\Big\lfloor\frac{500}{3}\Big\rfloor=166, \quad |B|=\Big\lfloor\frac{500}{5}\Big\rfloor=100, \quad |A\cap B|=\Big\lfloor\frac{500}{15}\Big\rfloor=33.
Logo
|A\cup B|=166+100-33=233.

Passo 3

Agora queremos excluir os que são múltiplos de 7. Defina \,C=\{n\le500\mid7\mid n\}.
Precisamos de
|(A\cup B)\cap C|=|A\cap C|+|B\cap C|-|A\cap B\cap C|.

Passo 4

Os conjuntos a contar são: \,A\cap C = múltiplos de \mathrm{lcm}(3,7)=21, \,B\cap C = múltiplos de \mathrm{lcm}(5,7)=35, \,A\cap B\cap C = múltiplos de \mathrm{lcm}(3,5,7)=105.
Então
|A\cap C|=\Big\lfloor\frac{500}{21}\Big\rfloor=23, \quad |B\cap C|=\Big\lfloor\frac{500}{35}\Big\rfloor=14, \quad |A\cap B\cap C|=\Big\lfloor\frac{500}{105}\Big\rfloor=4.
Assim
|(A\cup B)\cap C|=23+14-4=33.

Passo 5

Os elementos que são múltiplos de 3 ou 5, mas não de 7, têm quantidade
|(A\cup B)\setminus C|=|A\cup B|-|(A\cup B)\cap C|=233-33=200.

Resposta

200

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