Quantos são os elementos do conjunto
que são divisíveis por 3 ou 5 mas não são divisíveis por 7 ?
Passo 1
O enunciado pede a quantidade de inteiros em
que são múltiplos de 3 ou de 5, mas não são múltiplos de 7. Vamos usar o princípio da inclusão-exclusão para contar: primeiro quantos são múltiplos de 3 ou 5; depois subtrair os que também são múltiplos de 7.
Passo 2
Seja
,
.
Usando inclusão-exclusão,
Usando inclusão-exclusão,
Temos
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Passo 3
Agora queremos excluir os que são múltiplos de 7. Defina
.
Precisamos de
Precisamos de
Passo 4
Os conjuntos a contar são:
= múltiplos de
,
= múltiplos de
,
= múltiplos de
.
Então
Então
Assim
Passo 5
Os elementos que são múltiplos de 3 ou 5, mas não de 7, têm quantidade