Numa classe de 30 crianças, 20 estudam português, 14 estudam inglês e 10 estudam francês. Se 8 crianças não estudam nenhuma destas 3 línguas e nenhuma estuda as 3 línguas, quantas crianças estudam inglês e francês?

Passo 1

O enunciado diz que numa turma de 30 crianças temos
|P|=20 que estudam português
|E|=14 que estudam inglês
|F|=10 que estudam francês
\bullet 8 crianças não estudam nenhuma dessas línguas
• nenhuma criança estuda as três línguas ao mesmo tempo.
O tema aqui é contagem em teoria de conjuntos usando o princípio da inclusão–exclusão.

Passo 2

Calculamos primeiro quantas estudam pelo menos uma das línguas:
|P\cup E\cup F| = 30 - 8 = 22.
Pelo princípio da inclusão–exclusão para três conjuntos, com |P\cap E\cap F|=0, vale
|P\cup E\cup F| = |P| + |E| + |F| \;-\;\bigl(|P\cap E| + |P\cap F| + |E\cap F|\bigr).
Substituindo,
22 = 20 + 14 + 10 \;-\;\bigl(|P\cap E| + |P\cap F| + |E\cap F|\bigr),
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|P\cap E| + |P\cap F| + |E\cap F| = 44 - 22 = 22.

Passo 3

Chamando
S = |P\cap E| + |P\cap F| + |E\cap F| = 22,
veja que nessa única equação temos três incógnitas. Sem mais informações sobre |P\cap E| e |P\cap F|, não é possível determinar de forma única o valor de |E\cap F|.

Resposta

Os dados fornecidos são insuficientes para calcular unicamente o número de crianças que estudam inglês e francês.

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