- Quantos são os números naturais de 7 digitos nos quais o digito 4 figura pelo menos 3 vezes e o dígito 8 pelo menos 2 vezes?
- Quantos são os
-conjuntos (isto é, subconjuntos com
elementos) de
nos quais:
a)
figura;
a)
Passo 1
Enunciados e o que se pede.
-
Questão 10: Queremos contar quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito
aparece pelo menos vezes e o dígito aparece pelo menos vezes. Informação importante: por “número de 7 dígitos” entendemos uma sequência de algarismos cujo primeiro algarismo não é zero (ou seja, o primeiro dígito pertence a ). -
Questão 11(a): Quantos são os
-conjuntos (subconjuntos com elementos) de nos quais figura (isto é, que contêm o elemento )?
Anotei todas as condições relevantes: comprimento
, restrição do primeiro dígito (não pode ser
), contagens mínimas de
e
. Para a questão 11(a) temos conjunto de tamanho
e queremos subconjuntos de tamanho
que contenham
.
Passo 2
Estratégia para a Questão 10 (ideia geral, sem cálculos ainda).
- É mais simples contar primeiro todas as sequências de
dígitos (permitindo o na primeira posição) que satisfazem as condições de contagem de e , e depois subtrair as sequências que têm primeiro dígito igual a (essas não representam números de 7 dígitos). Assim usaremos
onde
= número de sequências de comprimento
(dígitos
–
) com
e
, e
= número dessas sequências que, além disso, têm o primeiro dígito igual a
.
Explicação do modelo de contagem para
: escolha posições onde aparecem os
(pelo menos
), escolha posições distintas onde aparecem os
(pelo menos
), e os restantes dígitos (posições que não foram ocupadas por
nem por
) podem ser quaisquer dos outros
dígitos
.
Passo 3
Formulação combinatória exata para
.
- Seja
o número de dígitos (com ) e o número de dígitos (com ) e . Para dados o número de sequências é
pois: escolher
das
posições para os
(
), escolher
das restantes
posições para os
(
), e preencher as
posições restantes com qualquer um dos
dígitos que não são nem
nem
(cada uma tem
escolhas).
- Logo
(Observação:
não pode ultrapassar
porque precisamos reservar pelo menos
posições para os
.)
Passo 4
Cálculo detalhado de
(avaliação dos termos da soma).
Vamos decompor por valores de
.
-
Para
: . Aqui . -
: , restos posições . -
: , restos posição . -
: , restos posições .
Soma para: -
-
Para
: . Aqui . -
: , restos posição . -
: , restos posições .
Soma para: -
-
Para
: . Aqui só (pois ). -
: , restos posições .
Soma para: -
Somando todos:
Passo 5
Cálculo de
(casos em que o primeiro dígito é
, que devemos eliminar).
- Se o primeiro dígito é
, então as exigências e devem ser satisfeitas inteiramente nas outras posições. Repetimos o raciocínio da contagem, mas agora com posições livres. - Para
tomamos (número de 's) com , (número de 's) com , e . Assim
(Aqui
vai até
porque precisamos deixar pelo menos
posições para os
.)
Passo 6
Cálculo detalhado de
.
-
Para
: . Aqui . -
: , restos posição . -
: , restos posições .
Soma para: . -
-
Para
: . Aqui só . -
: , restos posições .
Soma para: . -
Somando:
Passo 7
Subtração e conclusão da Questão 10.
- Número de números naturais de 7 dígitos que satisfazem as condições é
Interpretação:
sequências de
dígitos com primeiro dígito não nulo têm pelo menos três
's e pelo menos dois
's.
Passo 8
Resolução da Questão 11(a) (explicação didática).
- Queremos contar os
-conjuntos de que contêm . - Se um subconjunto de tamanho
contém , então precisamos escolher os outros elementos dentre os elementos restantes . - O número de maneiras de escolher
elementos de um conjunto de elementos é a combinação
- Portanto a resposta é
. (Exemplo concreto: se e , queremos conjuntos de tamanho que contenham ; devemos escolher dos restantes, maneiras.)