1. Quantos são os números naturais de 7 digitos nos quais o digito 4 figura pelo menos 3 vezes e o dígito 8 pelo menos 2 vezes?
  2. Quantos são os p-conjuntos (isto é, subconjuntos com p elementos) de \left\{a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}\right\} nos quais:
    a) a_{1} figura;

Passo 1

Enunciados e o que se pede.
  • Questão 10: Queremos contar quantos são os números naturais de 7 dígitos nos quais o dígito 4 aparece pelo menos 3 vezes e o dígito 8 aparece pelo menos 2 vezes. Informação importante: por “número de 7 dígitos” entendemos uma sequência de 7 algarismos cujo primeiro algarismo não é zero (ou seja, o primeiro dígito pertence a \{1,2,\dots,9\}).
  • Questão 11(a): Quantos são os p-conjuntos (subconjuntos com p elementos) de \{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\} nos quais a_{1} figura (isto é, que contêm o elemento a_{1})?
Anotei todas as condições relevantes: comprimento 7, restrição do primeiro dígito (não pode ser 0), contagens mínimas de 4 e 8. Para a questão 11(a) temos conjunto de tamanho n e queremos subconjuntos de tamanho p que contenham a_{1}.

Passo 2

Estratégia para a Questão 10 (ideia geral, sem cálculos ainda).
  • É mais simples contar primeiro todas as sequências de 7 dígitos (permitindo o 0 na primeira posição) que satisfazem as condições de contagem de 4 e 8, e depois subtrair as sequências que têm primeiro dígito igual a 0 (essas não representam números de 7 dígitos). Assim usaremos
\text{(resposta)} = A - B,
onde A = número de sequências de comprimento 7 (dígitos 0 9) com \#4\ge3 e \#8\ge2, e B = número dessas sequências que, além disso, têm o primeiro dígito igual a 0.
Explicação do modelo de contagem para A: escolha posições onde aparecem os 4 (pelo menos 3), escolha posições distintas onde aparecem os 8 (pelo menos 2), e os restantes dígitos (posições que não foram ocupadas por 4 nem por 8) podem ser quaisquer dos outros 8 dígitos \{0,1,2,3,5,6,7,9\}.

Passo 3

Formulação combinatória exata para A.
  • Seja k o número de dígitos 4 (com k\ge3) e l o número de dígitos 8 (com l\ge2) e k+l\le7. Para dados k,l o número de sequências é
\binom{7}{k}\binom{7-k}{l} \cdot 8^{\,7-k-l},
pois: escolher k das 7 posições para os 4 ( \binom{7}{k}), escolher l das restantes 7-k posições para os 8 ( \binom{7-k}{l}), e preencher as 7-k-l posições restantes com qualquer um dos 8 dígitos que não são nem 4 nem 8 (cada uma tem 8 escolhas).
  • Logo
A=\sum_{k=3}^{5}\sum_{l=2}^{7-k}\binom{7}{k}\binom{7-k}{l} 8^{\,7-k-l}.
(Observação: k não pode ultrapassar 7-2=5 porque precisamos reservar pelo menos 2 posições para os 8.)

Passo 4

Cálculo detalhado de A (avaliação dos termos da soma).
Vamos decompor por valores de k.
  • Para k=3: \binom{7}{3}=35. Aqui l=2,3,4.
    • l=2: \binom{4}{2}=6, restos 7-3-2=2 posições \Rightarrow 8^{2}=64. T_{3,2}=35\cdot 6\cdot 64 = 35\cdot 384 = 13440.
    • l=3: \binom{4}{3}=4, restos 1 posição \Rightarrow 8^{1}=8. T_{3,3}=35\cdot 4\cdot 8 = 35\cdot 32 = 1120.
    • l=4: \binom{4}{4}=1, restos 0 posições \Rightarrow 8^{0}=1. T_{3,4}=35\cdot 1\cdot 1 = 35.
    Soma para k=3:
    S_{k=3}=13440+1120+35 = 14595.
  • Para k=4: \binom{7}{4}=35. Aqui l=2,3.
    • l=2: \binom{3}{2}=3, restos 1 posição \Rightarrow 8^{1}=8. T_{4,2}=35\cdot 3\cdot 8 = 35\cdot 24 = 840.
    • l=3: \binom{3}{3}=1, restos 0 posições \Rightarrow 8^{0}=1. T_{4,3}=35\cdot 1\cdot 1 = 35.
    Soma para k=4:
    S_{k=4}=840+35 = 875.
  • Para k=5: \binom{7}{5}=21. Aqui só l=2 (pois 5+2=7).
    • l=2: \binom{2}{2}=1, restos 0 posições \Rightarrow 8^{0}=1. T_{5,2}=21\cdot 1\cdot 1 = 21.
    Soma para k=5:
    S_{k=5}=21.
Somando todos:
A = 14595 + 875 + 21 = 15491.

Passo 5

Cálculo de B (casos em que o primeiro dígito é 0, que devemos eliminar).
  • Se o primeiro dígito é 0, então as exigências \#4\ge3 e \#8\ge2 devem ser satisfeitas inteiramente nas outras 6 posições. Repetimos o raciocínio da contagem, mas agora com 6 posições livres.
  • Para B tomamos k (número de 4's) com k\ge3, l (número de 8's) com l\ge2, e k+l\le6. Assim
B=\sum_{k=3}^{4}\sum_{l=2}^{6-k}\binom{6}{k}\binom{6-k}{l} 8^{\,6-k-l}.
(Aqui k vai até 4 porque precisamos deixar pelo menos 2 posições para os 8.)

Passo 6

Cálculo detalhado de B.
  • Para k=3: \binom{6}{3}=20. Aqui l=2,3.
    • l=2: \binom{3}{2}=3, restos 6-3-2=1 posição \Rightarrow 8^{1}=8. U_{3,2}=20\cdot 3\cdot 8 = 20\cdot 24 = 480.
    • l=3: \binom{3}{3}=1, restos 0 posições \Rightarrow 8^{0}=1. U_{3,3}=20\cdot 1\cdot 1 = 20.
    Soma para k=3: 500.
  • Para k=4: \binom{6}{4}=15. Aqui só l=2.
    • l=2: \binom{2}{2}=1, restos 0 posições \Rightarrow 8^{0}=1. U_{4,2}=15\cdot 1\cdot 1 = 15.
    Soma para k=4: 15.
Somando:
B = 500 + 15 = 515.

Passo 7

Subtração e conclusão da Questão 10.
  • Número de números naturais de 7 dígitos que satisfazem as condições é
A - B = 15491 - 515 = 14976.
Interpretação: 14976 sequências de 7 dígitos com primeiro dígito não nulo têm pelo menos três 4's e pelo menos dois 8's.

Passo 8

Resolução da Questão 11(a) (explicação didática).
  • Queremos contar os p-conjuntos de \{a_{1},a_{2},\dots,a_{n}\} que contêm a_{1}.
  • Se um subconjunto de tamanho p contém a_{1}, então precisamos escolher os outros p-1 elementos dentre os n-1 elementos restantes \{a_{2},\dots,a_{n}\}.
  • O número de maneiras de escolher p-1 elementos de um conjunto de n-1 elementos é a combinação
\binom{n-1}{p-1}.
  • Portanto a resposta é \binom{n-1}{p-1}. (Exemplo concreto: se n=5 e p=3, queremos conjuntos de tamanho 3 que contenham a_{1}; devemos escolher 2 dos 4 restantes, \binom{4}{2}=6 maneiras.)

Resposta

14976
\displaystyle \binom{n-1}{p-1}

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