- Em um torneio no qual cada participante enfrenta todos os demais uma única vez, são jogadas 780 partidas. Quantos são os participantes?
- Sejam
e
. Quantas são as funções
estritamente crescentes?
- Um homem tem 5 amigas e 7 amigos. Sua esposa tem 7 amigas e 5 amigos. De quantos modos eles podem convidar 6 amigas e 6 amigos, se cada um deve convidar 6 pessoas?
Passo 1
Vou rescrever claramente o que cada item pede e quais dados são fornecidos, para não nos perder no enunciado.
-
Item 6: Em um torneio em que cada participante enfrenta todos os outros exatamente uma vez, foram jogadas
partidas. Pergunta: quantos participantes havia no torneio? -
Item 7: Definem-se
e com . Pergunta: quantas são as funções que são estritamente crescentes? -
Item 8: O homem tem
amigas e amigos. A esposa tem amigas e amigos. Eles vão convidar, juntos, amigas e amigos, e cada um (o homem e a esposa) deve convidar exatamente pessoas (cada convite é feito só entre as amizades próprias). Pergunta: de quantos modos isso pode ser feito?
Observação importante (assumida aqui porque o enunciado não contradiz): as listas de amigos da mulher e do homem são pessoas distintas (não há interseção entre as listas), e a ordem dos convidados não importa (conta-se apenas quem foi convidado).
Passo 2
Resolver o item 6 — entendimento do modelo combinatório e fórmula básica.
- Em um torneio onde cada par de participantes joga exatamente uma partida, cada partida corresponde a um par não ordenado de participantes. O número total de partidas é, portanto, o número de maneiras de escolher 2 participantes dentre
. - A fórmula para o número de pares (combinações de 2) de um conjunto com
elementos é
- O enunciado diz que esse número é
, então temos a equação
Nosso objetivo é resolver essa equação para
.
Passo 3
Resolver a equação do item 6 passo a passo (álgebra elementar).
- Multiplico ambos os lados por
para eliminar o denominador:
- Desenvolvendo, obtemos a equação quadrática
- Para resolver uma quadrática
uso a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática). O discriminante é
- Calculo a raiz quadrada de
. Observando números, , então . - As raízes são
- A raiz negativa
não faz sentido para número de participantes. Assim, tomo
- Conclusão: havia
participantes.
Passo 4
Resolver o item 7 — ideia combinatória por trás de funções estritamente crescentes.
- Uma função
é estritamente crescente quando, sempre que em , temos em . - Isso implica que os valores
são elementos distintos de e, além disso, a ordem desses valores é determinada (ordenados em ordem crescente devem corresponder a ). - Portanto, dar uma função estritamente crescente é o mesmo que escolher um subconjunto de
elementos de ; depois de escolhido o subconjunto, não há liberdade adicional: ordenar esse subconjunto em ordem crescente dá os valores . - O número de formas de escolher
elementos de um conjunto com elementos é o coeficiente binomial
- Logo, o número de funções estritamente crescentes
é .
Passo 5
Dar um pequeno exemplo ilustrativo para fixar a ideia do item 7 (pra tornar didático).
- Ex.: se
e , então e . As funções estritamente crescentes correspondem a escolher 2 valores distintos e ordenados para . As escolhas possíveis de conjunto de imagem são , ou seja possibilidades. Isso coincide com a enumeração direta.
Passo 6
Resolver o item 8 — modelagem por casos e regra do produto.
- Cada um (homem e esposa) deve convidar exatamente
pessoas das suas respectivas listas. O homem tem amigas (mulheres) e amigos (homens). A esposa tem amigas e amigos. - Queremos que, no total (somando convites do homem e da esposa), sejam convidados
amigas e amigos. - Denotemos por
o número de amigas que o homem convida. Então o homem convida mulheres e homens (pois convida 6 pessoas no total). A esposa, então, deve convidar mulheres (porque o total de mulheres convidadas deve ser ) e, portanto, homens. - Restrições de disponibilidade:
deve satisfazer (pois o homem tem só amigas) e a esposa precisa convidar mulheres, com (o que dá , trivialmente satisfeito para ). Portanto pode ser (se o homem precisaria convidar 6 amigas mas ele só tem 5). - Para um valor fixo de
, calculamos o número de maneiras multiplicando escolhas independentes: - O homem escolhe
amigas dentre : . - O homem escolhe
amigos dentre : . - A esposa escolhe
amigas dentre : . - A esposa escolhe
amigos dentre : .
- O homem escolhe
- Pela regra do produto, para esse
fixo o número de formas é
- Como
pode variar pelos valores , somamos sobre esses casos (princípio da soma) para obter o total:
Passo 7
Calcular explicitamente a soma do item 8, mostrando as combinações e produtos.
-
Primeiro, anoto os coeficientes binomiais relevantes:
-
- Para
, quando temos respectivamente: -
-
-
Agora calculo cada termo
: -
-
-
-
(mesmo que ). -
(mesmo que ). -
(mesmo que ).
-
Passo 8
Somar os termos do item 8 e concluir.
- Somando:
- Agrupando termos iguais:
, , . - Soma total
. - Portanto, existem
modos de convidar amigas e amigos, com cada pessoa convidando pessoas das suas listas (e assumindo listas distintas).