Quatro candidatos se apresentaram para realizar a prova de um concurso. Antes de iniciar a prova, os celulares dos quatro candidatos foram recolhidos pelo aplicador, que os guardou, cada um, dentro de um envelope preto. Ao término da prova, o aplicador devolveu os quatro envelopes com os celulares aos quatro candidatos, de maneira aleatória, já que não havia feito a identificação dos envelopes.
A probabilidade de que todos os candidatos tenham recebido de volta os envelopes com os seus respectivos celulares é
(A) \frac{1}{2}
(B) \frac{1}{10}
C \frac{1}{16}
(D) \frac{1}{24}

Passo 1

O enunciado dá a situação: quatro envelopes idênticos (cada um contendo o celular de um candidato) são devolvidos aleatoriamente aos quatro candidatos, sem identificação. A pergunta é: qual é a probabilidade de que todos os quatro candidatos recebam de volta exatamente o envelope que contém o seu próprio celular?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Existem 4 candidatos e 4 envelopes.
  • A devolução é feita de maneira aleatória e todas as atribuições possíveis são igualmente prováveis.
  • Queremos a probabilidade do evento “todos recebam o próprio celular”.

Passo 2

Vamos modelar o problema em termos de permutações. Cada maneira de distribuir os quatro envelopes entre os candidatos corresponde a uma permutação dos 4 objetos. O tamanho do espaço amostral (número total de distribuições possíveis) é o número de permutações de 4 elementos, que é 4!.
Explicando o que é 4!: para n inteiro positivo, define-se
n! = n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots 2\cdot 1.
Assim,
4! = 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1 = 24.
Portanto há 24 distribuições possíveis, todas igualmente prováveis.

Passo 3

Agora contamos as distribuições favoráveis — ou seja, quantas permutações fazem com que cada candidato receba exatamente o seu envelope. Isso ocorre somente quando a permutação é a identidade (nenhum envelope foi trocado). Há exatamente 1 permutação que deixa todos no lugar certo.
Portanto o número de casos favoráveis é 1.

Passo 4

A probabilidade de um evento em espaço equiprovável é
\text{Probabilidade} = \frac{\text{número de casos favoráveis}}{\text{número total de casos}}.úáú
Aqui isso dá
\frac{1}{24}.

Passo 5

Para fixar a ideia, mostro uma outra forma, por raciocínio sequencial com probabilidades condicionais (mesmo resultado): entregue-se os envelopes em ordem a cada candidato aleatoriamente.
  • A probabilidade do primeiro candidato receber o seu envelope é \dfrac{1}{4}.
  • Se o primeiro recebeu o seu, restam 3 envelopes corretos entre 3 candidatos, então a probabilidade do segundo também receber o seu dado que o primeiro acertou é \dfrac{1}{3}.
  • Continuando, a probabilidade condicional para o terceiro é \dfrac{1}{2} e para o quarto é \dfrac{1}{1}.
Multiplicando as probabilidades condicionais (regra da probabilidade composta),
\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=\frac{1}{24},
confirmando o resultado anterior.

Passo 6

Comentário final encorajador: então, apesar de parecer possível que as chances sejam “boas”, quando a devolução é completamente aleatória a chance de todo mundo receber exatamente o seu é bem pequena — é 1 em 24 para o caso com 4 pessoas. Para n pessoas essa probabilidade geral seria \dfrac{1}{n!}.

Resposta

\dfrac{1}{24}

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