Quatro candidatos se apresentaram para realizar a prova de um concurso. Antes de iniciar a prova, os celulares dos quatro candidatos foram recolhidos pelo aplicador, que os guardou, cada um, dentro de um envelope preto. Ao término da prova, o aplicador devolveu os quatro envelopes com os celulares aos quatro candidatos, de maneira aleatória, já que não havia feito a identificação dos envelopes.
A probabilidade de que todos os candidatos tenham recebido de volta os envelopes com os seus respectivos celulares é
(A)
(B)
C
(D)
(A)
(B)
(D)
Passo 1
O enunciado dá a situação: quatro envelopes idênticos (cada um contendo o celular de um candidato) são devolvidos aleatoriamente aos quatro candidatos, sem identificação. A pergunta é: qual é a probabilidade de que todos os quatro candidatos recebam de volta exatamente o envelope que contém o seu próprio celular?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Existem
candidatos e envelopes. - A devolução é feita de maneira aleatória e todas as atribuições possíveis são igualmente prováveis.
- Queremos a probabilidade do evento “todos recebam o próprio celular”.
Passo 2
Vamos modelar o problema em termos de permutações. Cada maneira de distribuir os quatro envelopes entre os candidatos corresponde a uma permutação dos
objetos. O tamanho do espaço amostral (número total de distribuições possíveis) é o número de permutações de
elementos, que é
.
Explicando o que é
: para
inteiro positivo, define-se
Assim,
Portanto há
distribuições possíveis, todas igualmente prováveis.
Passo 3
Agora contamos as distribuições favoráveis — ou seja, quantas permutações fazem com que cada candidato receba exatamente o seu envelope. Isso ocorre somente quando a permutação é a identidade (nenhum envelope foi trocado). Há exatamente
permutação que deixa todos no lugar certo.
Portanto o número de casos favoráveis é
.
Passo 4
A probabilidade de um evento em espaço equiprovável é
Aqui isso dá
Passo 5
Para fixar a ideia, mostro uma outra forma, por raciocínio sequencial com probabilidades condicionais (mesmo resultado): entregue-se os envelopes em ordem a cada candidato aleatoriamente.
- A probabilidade do primeiro candidato receber o seu envelope é
. - Se o primeiro recebeu o seu, restam
envelopes corretos entre candidatos, então a probabilidade do segundo também receber o seu dado que o primeiro acertou é . - Continuando, a probabilidade condicional para o terceiro é
e para o quarto é .
Multiplicando as probabilidades condicionais (regra da probabilidade composta),
confirmando o resultado anterior.
Passo 6
Comentário final encorajador: então, apesar de parecer possível que as chances sejam “boas”, quando a devolução é completamente aleatória a chance de todo mundo receber exatamente o seu é bem pequena — é
em
para o caso com
pessoas. Para
pessoas essa probabilidade geral seria
.