As quatro equações de Maxwell são dadas pela lei de Gauss, lei de Ampère e lei de Faraday. A lei de Gauss possui duas representações, sendo uma para a eletroestática e outra para o magnetismo. A lei de Gauss para o magnetismo mostra que não existem monopólos. Isto fica evidente quando aplicamos a lei de Gauss para um imã. O fluxo que sai da superfície gaussiana pelo pólo norte é o mesmo fluxo que entra na superfície em direção do pólo sul. Por mais que o imã seja fatiado inúmeras vezes, sempre haverão 2 pólos magnéticos o fluxo total sempre será zero, ao contrário da lei da Gauss aplicado para cargas elétricas. Desta forma, podemos escrever as quatro equações de Maxwell na forma integral como:
- Lei de Gauss (eletroestática):
- Lei de Gauss (magnetismo):
- Lei de Ampère:
- Lei de Faraday:
Utilizando os teoremas da divergência e rotacional, mostre que as equações 1-4 podem ser escritas na forma diferencial:
- Lei de Gauss (eletroestática):
- Lei de Gauss (magnetismo):
- Lei de Ampère:
- Lei de Faraday:
em que
representa a densidade de carga elétrica do meio e
a densidade de corrente. Interprete fisicamente as equações 5-8 e mostre qual delas seria violada caso existissem monopólos magnéticos. Explique.
Passo 1
O enunciado pede para usar as formas integrais das quatro equações de Maxwell (lei de Gauss para E, lei de Gauss para B, lei de Ampère e lei de Faraday) e, aplicando os teoremas da divergência e de Stokes, chegar às suas formas diferenciais (eqs. 5–8). Depois, interpretar fisicamente cada uma dessas equações diferenciais e identificar qual delas seria violada se existissem monopólos magnéticos.
Passo 2
Começando pela lei de Gauss eletrostática: a forma integral diz
Pelo teorema da divergência temos
Como
, igualando integrandos obtemos
Passo 3
Para a lei de Gauss do magnetismo, a forma integral é
Aplicando novamente o teorema da divergência,
Como isso vale para qualquer volume
, segue que
Passo 4
Para a lei de Ampère, a forma integral é
Pelo teorema de Stokes,
E como
, igualando integrandos resulta
Passo 5
Para a lei de Faraday, temos
onde
. Usando Stokes no lado esquerdo e passando a derivada por debaixo da integral,
Como vale para toda superfície,
Passo 6
Fisicamente, a equação
diz que cargas elétricas são fontes (ou sumidouros) do campo elétrico. A equação
significa que não existem “cargas” magnéticas isoladas: as linhas de
são sempre fechadas. A equação
mostra que correntes elétricas geram campo magnético que circula ao redor delas. E
revela que um campo magnético variável induz um campo elétrico não-conservativo.
Passo 7
Se existissem monopólos magnéticos, a equação
seria violada, pois haveria densidade de carga magnética
atuando como fonte de
. Nesse caso, alteraríamos para
Passo 8
Resposta
A equação
(lei de Gauss para o magnetismo) seria violada se existissem monopólos magnéticos, pois aí a divergência de
não seria nula e sim igual à densidade de carga magnética
.