As quatro equações de Maxwell são dadas pela lei de Gauss, lei de Ampère e lei de Faraday. A lei de Gauss possui duas representações, sendo uma para a eletroestática e outra para o magnetismo. A lei de Gauss para o magnetismo mostra que não existem monopólos. Isto fica evidente quando aplicamos a lei de Gauss para um imã. O fluxo que sai da superfície gaussiana pelo pólo norte é o mesmo fluxo que entra na superfície em direção do pólo sul. Por mais que o imã seja fatiado inúmeras vezes, sempre haverão 2 pólos magnéticos o fluxo total sempre será zero, ao contrário da lei da Gauss aplicado para cargas elétricas. Desta forma, podemos escrever as quatro equações de Maxwell na forma integral como:
  • Lei de Gauss (eletroestática):
oiintS E cdot n d A=qepsilon0
  • Lei de Gauss (magnetismo):
oiintS B cdot n d A=0
  • Lei de Ampère:
ointC B cdot d l=mu0 i
  • Lei de Faraday:
ointC E cdot d l=-d phid t
Utilizando os teoremas da divergência e rotacional, mostre que as equações 1-4 podem ser escritas na forma diferencial:
  • Lei de Gauss (eletroestática):
nabla cdot E=rhoepsilon0
  • Lei de Gauss (magnetismo):
nabla cdot B=0
  • Lei de Ampère:
nabla times B=mu0 J
  • Lei de Faraday:
nabla times E=-d Bd t
em que rho representa a densidade de carga elétrica do meio e J a densidade de corrente. Interprete fisicamente as equações 5-8 e mostre qual delas seria violada caso existissem monopólos magnéticos. Explique.

Passo 1

O enunciado pede para usar as formas integrais das quatro equações de Maxwell (lei de Gauss para E, lei de Gauss para B, lei de Ampère e lei de Faraday) e, aplicando os teoremas da divergência e de Stokes, chegar às suas formas diferenciais (eqs. 5–8). Depois, interpretar fisicamente cada uma dessas equações diferenciais e identificar qual delas seria violada se existissem monopólos magnéticos.

Passo 2

Começando pela lei de Gauss eletrostática: a forma integral diz
oiintS Ecdotn,dA=qvarepsilon0
Pelo teorema da divergência temos
oiintS Ecdotn,dA=integralV (nablacdotE),dV
Como q=integralVrho,dV, igualando integrandos obtemos
nablacdotE=rhovarepsilon0

Passo 3

Para a lei de Gauss do magnetismo, a forma integral é
oiintS Bcdotn,dA=0
Aplicando novamente o teorema da divergência,
oiintS Bcdotn,dA=integralV (nablacdotB),dV=0
Como isso vale para qualquer volume V, segue que
nablacdotB=0

Passo 4

Para a lei de Ampère, a forma integral é
ointC Bcdot dl=mu0,i
Pelo teorema de Stokes,
ointC Bcdot dl=integral duplaS (nablatimesB)cdotn,dA
E como i=integral duplaS Jcdotn,dA, igualando integrandos resulta
nablatimesB=mu0,J

Passo 5

Para a lei de Faraday, temos
ointC Ecdot dl=-dPhidt
onde Phi=integral duplaS Bcdotn,dA. Usando Stokes no lado esquerdo e passando a derivada por debaixo da integral,
integral duplaS (nablatimesE)cdotn,dA=-integral duplaS partialBpartial tcdotn,dA
Como vale para toda superfície,
nablatimesE=-partialBpartial t

Passo 6

Fisicamente, a equação nablacdotE=rho/varepsilon0 diz que cargas elétricas são fontes (ou sumidouros) do campo elétrico. A equação nablacdotB=0 significa que não existem “cargas” magnéticas isoladas: as linhas de B são sempre fechadas. A equação nablatimesB=mu0J mostra que correntes elétricas geram campo magnético que circula ao redor delas. E nablatimesE=-partialB/partial t revela que um campo magnético variável induz um campo elétrico não-conservativo.

Passo 7

Se existissem monopólos magnéticos, a equação
nablacdotB=0
seria violada, pois haveria densidade de carga magnética rhom atuando como fonte de B. Nesse caso, alteraríamos para
nablacdotB=rhom

Passo 8

Resposta

A equação nablacdotB=0 (lei de Gauss para o magnetismo) seria violada se existissem monopólos magnéticos, pois aí a divergência de B não seria nula e sim igual à densidade de carga magnética rhom.

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