Quatro esferas condutoras idênticas estão inicialmente isoladas (sem contato entre si), e descarregadas (neutras). Carrega-se então uma delas com uma carga positiva de valor desconhecido, porém não nulo, e a seguir as quatro esferas são postas em contato, em uma dada configuração. Em cada caso a seguir determine, para a situação de equilíbrio, quais esferas terão carga nula (caso isso ocorra), quais terão carga negativa (idem), e quais terão cargas iguais entre si (idem).
(d) Três das esferas estão alinhadas, e a quarta esfera está em contato com a esfera do meio, ortogonalmente ao alinhamento das demais.
(d) Três das esferas estão alinhadas, e a quarta esfera está em contato com a esfera do meio, ortogonalmente ao alinhamento das demais.
Passo 1
Enunciado (o que nos dão e o que pedem):
- Temos quatro esferas condutoras idênticas, inicialmente isoladas e neutras.
- Uma delas recebe uma carga positiva não nula (valor desconhecido).
- Depois as quatro esferas são postas em contato na configuração descrita: três em linha (vamos chamar de
– – , com no meio) e a quarta ( ) toca a esfera do meio ortogonalmente ao alinhamento, formando um “T”. - Pergunta: na situação de equilíbrio (após a carga se redistribuir), identificar quais esferas terão carga nula, quais terão carga negativa, e quais terão cargas iguais entre si (caso ocorra).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- As quatro esferas são idênticas (mesmo raio, mesmo material).
- Elas ficam em contato elétrico (portanto formam um único condutor conectado).
- A carga total do sistema é positiva (igual à carga que foi dada inicialmente a uma das esferas).
- Configuração geométrica:
toca , toca , e ; e estão alinhadas com no meio; está ligado a perpendicularmente.
Passo 2
Princípios físicos básicos que vamos usar (explicados com calma):
-
Conservação da carga: a carga total do sistema isolado mantém-se constante. Se inicialmente a soma das cargas era
, então após colocá-las em contato a soma das cargas ainda será . -
Condutores em contato elétrico: quando condutores tocam e ficam conectados, cargas fluem até que todo o conjunto conectado esteja no mesmo potencial elétrico (mesmo potencial escalar). Isso significa que não há diferença de potencial entre as esferas conectadas, e a distribuição final das cargas é aquela que torna o potencial da superfície comum constante.
-
Uso da simetria: se a configuração geométrica é tal que existe uma transformação (reflexão, rotação, troca) que troca duas esferas entre si deixando a configuração inteira invariante, então as cargas nessas duas esferas devem ser iguais. Isso acontece porque a situação física não distingue essas duas esferas; qualquer solução dos campos que satisfaça as condições deve atribuir a elas a mesma carga.
Observação pedagógica: não precisamos calcular valores absolutos das cargas para responder quais são nulas, negativas ou iguais; basta aplicar conservação, igualdade de potenciais e simetria.
Passo 3
Aplicando simetria à configuração dada:
- Há uma reflexão no plano que contém
e e que é perpendicular à linha – – . Essa reflexão troca com e deixa e no lugar. - Pelo princípio da simetria, as esferas que são permutadas por uma simetria do conjunto final devem receber a mesma carga. Logo:
- Não existe simetria que troque
com qualquer outra esfera sem alterar a configuração; portanto não é forçado a ser igual a nem a . Também não é forçado a ser igual a nenhuma outra esfera (além de si mesma, claro).
Conclusão parcial pela simetria: as únicas igualdades obrigatórias entre cargas são
As demais cargas (
e
) podem ser diferentes entre si e diferentes de
.
Passo 4
Sobre a possibilidade de cargas nulas ou negativas:
- A carga total é
. Portanto não é possível que todas as esferas fiquem neutras. - Física-intuitiva (e usada em muitos exercícios): quando um conjunto isolado de condutores idênticos e conectados tem carga total positiva, a carga tende a distribuir-se por toda a superfície externa do conjunto de forma a minimizar a repulsão. Não há campos externos que induzam sinais opostos; assim não há motivo físico para que uma porção conectada do mesmo condutor tome carga negativa enquanto outra tem carga positiva, porque isso aumentaria a energia eletrostática sem necessidade. Por essa razão (e por argumentos de estabilidade/energia), não aparecerá carga negativa em alguma esfera isolada do conjunto quando a carga total é positiva e não há fontes externas.
- Em particular, nenhum dos lobos (esferas) do condutor irá adquirir carga negativa como consequência do sistema isolado com
. Também não há simetria que force alguma esfera a ficar exatamente neutra (zero) — para ter exatamente seria preciso uma condição especial (por exemplo, troca simétrica de sinais ou uma hipótese adicional), que não existe aqui.
Portanto: não aparecem cargas negativas nem cargas exatamente nulas como consequência inevitável desta configuração e do fato de a carga total ser positiva.
Passo 5
Resumo final do raciocínio e resposta explícita:
- Igualdades obrigatórias por simetria:
. - Não há justificativa (nem simetria) para que
seja igual a ou igual a ; portanto, em geral , e são três valores possivelmente distintos. - Quanto ao sinal e à nulidade: a carga total é positiva, e não há indução externa que gere cargas de sinal oposto em alguma porção do condutor; portanto nenhuma esfera ficará com carga negativa e nenhuma ficará necessariamente com carga nula.
Resposta
Carga nula: nenhuma
Carga negativa: nenhuma
Cargas iguais entre si: (as demais, em geral, diferentes entre si)
Carga negativa: nenhuma
Cargas iguais entre si: