Quatro esferas condutoras idênticas estão inicialmente isoladas (sem contato entre si), e descarregadas (neutras). Carrega-se então uma delas com uma carga positiva de valor desconhecido, porém não nulo, e a seguir as quatro esferas são postas em contato, em uma dada configuração. Em cada caso a seguir determine, para a situação de equilíbrio, quais esferas terão carga nula (caso isso ocorra), quais terão carga negativa (idem), e quais terão cargas iguais entre si (idem).
(d) Três das esferas estão alinhadas, e a quarta esfera está em contato com a esfera do meio, ortogonalmente ao alinhamento das demais.

Passo 1

Enunciado (o que nos dão e o que pedem):
  • Temos quatro esferas condutoras idênticas, inicialmente isoladas e neutras.
  • Uma delas recebe uma carga positiva não nula (valor desconhecido).
  • Depois as quatro esferas são postas em contato na configuração descrita: três em linha (vamos chamar de A B C, com B no meio) e a quarta ( D) toca a esfera do meio B ortogonalmente ao alinhamento, formando um “T”.
  • Pergunta: na situação de equilíbrio (após a carga se redistribuir), identificar quais esferas terão carga nula, quais terão carga negativa, e quais terão cargas iguais entre si (caso ocorra).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • As quatro esferas são idênticas (mesmo raio, mesmo material).
  • Elas ficam em contato elétrico (portanto formam um único condutor conectado).
  • A carga total do sistema é positiva (igual à carga que foi dada inicialmente a uma das esferas).
  • Configuração geométrica: A toca B, B toca A, C e D; A e C estão alinhadas com B no meio; D está ligado a B perpendicularmente.

Passo 2

Princípios físicos básicos que vamos usar (explicados com calma):
  1. Conservação da carga: a carga total do sistema isolado mantém-se constante. Se inicialmente a soma das cargas era Q>0, então após colocá-las em contato a soma das cargas ainda será Q.
  2. Condutores em contato elétrico: quando condutores tocam e ficam conectados, cargas fluem até que todo o conjunto conectado esteja no mesmo potencial elétrico (mesmo potencial escalar). Isso significa que não há diferença de potencial entre as esferas conectadas, e a distribuição final das cargas é aquela que torna o potencial da superfície comum constante.
  3. Uso da simetria: se a configuração geométrica é tal que existe uma transformação (reflexão, rotação, troca) que troca duas esferas entre si deixando a configuração inteira invariante, então as cargas nessas duas esferas devem ser iguais. Isso acontece porque a situação física não distingue essas duas esferas; qualquer solução dos campos que satisfaça as condições deve atribuir a elas a mesma carga.
Observação pedagógica: não precisamos calcular valores absolutos das cargas para responder quais são nulas, negativas ou iguais; basta aplicar conservação, igualdade de potenciais e simetria.

Passo 3

Aplicando simetria à configuração dada:
  • Há uma reflexão no plano que contém B e D e que é perpendicular à linha A B C. Essa reflexão troca A com C e deixa B e D no lugar.
  • Pelo princípio da simetria, as esferas que são permutadas por uma simetria do conjunto final devem receber a mesma carga. Logo: q_A = q_C.
  • Não existe simetria que troque B com qualquer outra esfera sem alterar a configuração; portanto q_B não é forçado a ser igual a q_A nem a q_D. Também q_D não é forçado a ser igual a nenhuma outra esfera (além de si mesma, claro).
Conclusão parcial pela simetria: as únicas igualdades obrigatórias entre cargas são
q_A = q_C.
As demais cargas ( q_B e q_D) podem ser diferentes entre si e diferentes de q_A.

Passo 4

Sobre a possibilidade de cargas nulas ou negativas:
  • A carga total é Q>0. Portanto não é possível que todas as esferas fiquem neutras.
  • Física-intuitiva (e usada em muitos exercícios): quando um conjunto isolado de condutores idênticos e conectados tem carga total positiva, a carga tende a distribuir-se por toda a superfície externa do conjunto de forma a minimizar a repulsão. Não há campos externos que induzam sinais opostos; assim não há motivo físico para que uma porção conectada do mesmo condutor tome carga negativa enquanto outra tem carga positiva, porque isso aumentaria a energia eletrostática sem necessidade. Por essa razão (e por argumentos de estabilidade/energia), não aparecerá carga negativa em alguma esfera isolada do conjunto quando a carga total é positiva e não há fontes externas.
  • Em particular, nenhum dos lobos (esferas) do condutor irá adquirir carga negativa como consequência do sistema isolado com Q>0. Também não há simetria que force alguma esfera a ficar exatamente neutra (zero) — para ter exatamente q=0 seria preciso uma condição especial (por exemplo, troca simétrica de sinais ou uma hipótese adicional), que não existe aqui.
Portanto: não aparecem cargas negativas nem cargas exatamente nulas como consequência inevitável desta configuração e do fato de a carga total ser positiva.

Passo 5

Resumo final do raciocínio e resposta explícita:
  • Igualdades obrigatórias por simetria: \;q_A = q_C.
  • Não há justificativa (nem simetria) para que q_B seja igual a q_D ou igual a q_A; portanto, em geral q_B, q_D e q_A(=q_C) são três valores possivelmente distintos.
  • Quanto ao sinal e à nulidade: a carga total é positiva, e não há indução externa que gere cargas de sinal oposto em alguma porção do condutor; portanto nenhuma esfera ficará com carga negativa e nenhuma ficará necessariamente com carga nula.

Resposta

Carga nula: nenhuma
Carga negativa: nenhuma
Cargas iguais entre si: \;q_A = q_C (as demais, em geral, diferentes entre si)

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