5-) Quatro executivos têm a responsabilidade de decidir se uma nova filial da empresa deve ser instalada no interior de São Paulo. De acordo com a ordem de questionamento e indicando C , para quem concorda com a nova filial e D, para quem discorda da implantação da nova filial, faça:
a) Monte o espaço amostral;
b) Monte o seguinte evento: “pelo menos dois concordam com a nova filial” e calcule sua probabilidade;
c) Monte o evento complementar do item b).
a) Monte o espaço amostral;
b) Monte o seguinte evento: “pelo menos dois concordam com a nova filial” e calcule sua probabilidade;
c) Monte o evento complementar do item b).
Passo 1
O enunciado pede três coisas claras:
- (a) Montar o espaço amostral dos resultados possíveis quando quatro executivos, questionados em uma ordem fixa, respondem cada um “C” (concorda) ou “D” (discorda).
- (b) Montar o evento “pelo menos dois concordam com a nova filial” e calcular a probabilidade desse evento.
- (c) Montar o evento complementar do item (b).
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo isso foi informado ou é a interpretação padrão do problema): cada executivo só pode responder
ou
; a ordem de questionamento importa (ou seja,
é diferente de
); e vamos assumir que todas as sequências possíveis são igualmente prováveis (hipótese usual em exercícios básicos de probabilidade quando não há outra informação).
Passo 2
O que é o espaço amostral e como montá-lo: o espaço amostral
é o conjunto de todas as sequências possíveis de respostas dos quatro executivos, respeitando a ordem. Cada executivo tem duas opções (
ou
), logo o número total de sequências é
Vamos escrever explicitamente todas as
sequências como 4-tuplas
, onde
é a resposta do
-ésimo executivo. O espaço amostral é:
Aqui cada tupla lista as respostas na ordem em que os executivos foram questionados.
Passo 3
Definir o evento pedido em (b): seja
o evento “pelo menos dois concordam com a nova filial”. Em termos de contagem de
s, isso significa "o número de
s na tupla é maior ou igual a
". Em notação:
Uma maneira eficiente de contar os elementos de
é usar combinatória: o número de sequências com exatamente
respostas
é
, porque escolhemos as
posições (entre as 4) que serão
. Assim o total de sequências com pelo menos dois
s é
Calculemos cada binomial (a explicação:
é o número de formas de escolher 2 posições entre 4, etc.):
Somando,
Para ficar bem concreto (como você pediu), os
elementos de
são:
Passo 4
Calcular a probabilidade de
: sob a hipótese de que todas as sequências de
são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
Aqui o nº de resultados favoráveis é
(veja Passo 3) e o nº total é
(veja Passo 2). Portanto
Também é útil verificar com complemento:
. Como veremos no passo seguinte,
tem
resultados, logo
, que confirma o resultado.
Passo 5
Montar o evento complementar (item c): o complementar de
é o evento
“menos de dois concordam”, isto é, "zero ou um
". Em termos de sequências, são aquelas com
ou
ocorrências de
. Contagem:
Listando explicitamente:
A probabilidade de
(novamente assumindo equiprobabilidade) é
e de fato
, como esperado.
Resposta
(a)
\n
(b) ,
\n
(c)
(b)
(c)