5-) Quatro executivos têm a responsabilidade de decidir se uma nova filial da empresa deve ser instalada no interior de São Paulo. De acordo com a ordem de questionamento e indicando C , para quem concorda com a nova filial e D, para quem discorda da implantação da nova filial, faça:
a) Monte o espaço amostral;
b) Monte o seguinte evento: “pelo menos dois concordam com a nova filial” e calcule sua probabilidade;
c) Monte o evento complementar do item b).

Passo 1

O enunciado pede três coisas claras:
  1. (a) Montar o espaço amostral dos resultados possíveis quando quatro executivos, questionados em uma ordem fixa, respondem cada um “C” (concorda) ou “D” (discorda).
  2. (b) Montar o evento “pelo menos dois concordam com a nova filial” e calcular a probabilidade desse evento.
  3. (c) Montar o evento complementar do item (b).
Informações dadas e hipóteses que vamos usar (tudo isso foi informado ou é a interpretação padrão do problema): cada executivo só pode responder C ou D; a ordem de questionamento importa (ou seja, (C,D,D,C) é diferente de (D,C,D,C)); e vamos assumir que todas as sequências possíveis são igualmente prováveis (hipótese usual em exercícios básicos de probabilidade quando não há outra informação).

Passo 2

O que é o espaço amostral e como montá-lo: o espaço amostral \Omega é o conjunto de todas as sequências possíveis de respostas dos quatro executivos, respeitando a ordem. Cada executivo tem duas opções ( C ou D), logo o número total de sequências é
2^4 = 16.
Vamos escrever explicitamente todas as 16 sequências como 4-tuplas (\text{resp}_1,\text{resp}_2,\text{resp}_3,\text{resp}_4), onde \text{resp}_i é a resposta do i-ésimo executivo. O espaço amostral é:
\Omega=\{(C,C,C,C),(C,C,C,D),(C,C,D,C),(C,C,D,D),(C,D,C,C),(C,D,C,D),(C,D,D,C),(C,D,D,D),
(D,C,C,C),(D,C,C,D),(D,C,D,C),(D,C,D,D),(D,D,C,C),(D,D,C,D),(D,D,D,C),(D,D,D,D)\}.
Aqui cada tupla lista as respostas na ordem em que os executivos foram questionados.

Passo 3

Definir o evento pedido em (b): seja E o evento “pelo menos dois concordam com a nova filial”. Em termos de contagem de Cs, isso significa "o número de Cs na tupla é maior ou igual a 2". Em notação:
E=\{\omega\in\Omega:\text{nº de }C\text{ em }\omega \ge 2\}.º
Uma maneira eficiente de contar os elementos de E é usar combinatória: o número de sequências com exatamente k respostas C é \binom{4}{k}, porque escolhemos as k posições (entre as 4) que serão C. Assim o total de sequências com pelo menos dois Cs é
\binom{4}{2}+\binom{4}{3}+\binom{4}{4}.
Calculemos cada binomial (a explicação: \binom{4}{2} é o número de formas de escolher 2 posições entre 4, etc.):
\binom{4}{2}=6,\qquad \binom{4}{3}=4,\qquad \binom{4}{4}=1.
Somando,
6+4+1=11.
Para ficar bem concreto (como você pediu), os 11 elementos de E são:
E=\{(C,C,C,C),(C,C,C,D),(C,C,D,C),(C,C,D,D),(C,D,C,C),(C,D,C,D),(C,D,D,C),
(D,C,C,C),(D,C,C,D),(D,C,D,C),(D,D,C,C)\}.

Passo 4

Calcular a probabilidade de E: sob a hipótese de que todas as sequências de \Omega são igualmente prováveis, a probabilidade de um evento é
P(\text{evento})=\frac{\text{nº de resultados favoráveis}}{\text{nº total de resultados}}.ºáº
Aqui o nº de resultados favoráveis é 11 (veja Passo 3) e o nº total é 16 (veja Passo 2). Portanto
P(E)=\frac{11}{16}.
Também é útil verificar com complemento: P(E)=1-P(E^c). Como veremos no passo seguinte, E^c tem 5 resultados, logo 1-5/16=11/16, que confirma o resultado.

Passo 5

Montar o evento complementar (item c): o complementar de E é o evento E^c “menos de dois concordam”, isto é, "zero ou um C". Em termos de sequências, são aquelas com 0 ou 1 ocorrências de C. Contagem:
\binom{4}{0}+\binom{4}{1}=1+4=5.
Listando explicitamente:
E^c=\{(D,D,D,D),(C,D,D,D),(D,C,D,D),(D,D,C,D),(D,D,D,C)\}.
A probabilidade de E^c (novamente assumindo equiprobabilidade) é
P(E^c)=\frac{5}{16},
e de fato P(E)+P(E^c)=\tfrac{11}{16}+\tfrac{5}{16}=1, como esperado.

Resposta

(a) \Omega=\{(C,C,C,C),(C,C,C,D),(C,C,D,C),(C,C,D,D),(C,D,C,C),(C,D,C,D),(C,D,D,C),(C,D,D,D),(D,C,C,C),(D,C,C,D),(D,C,D,C),(D,C,D,D),(D,D,C,C),(D,D,C,D),(D,D,D,C),(D,D,D,D)\}\n
(b) E=\{(C,C,C,C),(C,C,C,D),(C,C,D,C),(C,C,D,D),(C,D,C,C),(C,D,C,D),(C,D,D,C),(D,C,C,C),(D,C,C,D),(D,C,D,C),(D,D,C,C)\}, \;P(E)=\tfrac{11}{16}\n
(c) E^c=\{(D,D,D,D),(C,D,D,D),(D,C,D,D),(D,D,C,D),(D,D,D,C)\}

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