4-) Uma máquina fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum, um, dois, três ou quatro defeitos, com probabilidade 90 \%, 5 \%, 3 \%, 1 \% e 1 \%, respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita é de \mathrm{R} \ 10,00$ e á medida que apresente defeitos, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual é o preço médio de vendas destas placas?

Passo 1

O enunciado dá a distribuição do número de defeitos por placa e pede o preço médio (esperado) de venda. Informações fornecidas:
\begin{aligned} &\text{Número de defeitos }k\in\{0,1,2,3,4\} \\\ &\text{Probabilidades: }P(k=0)=90\%,\;P(k=1)=5\%,\;P(k=2)=3\%,\;P(k=3)=1\%,\;P(k=4)=1\%. \end{aligned}ú
O preço de uma placa perfeita é \,R\$\,10{,}00. A cada defeito o preço cai 50\% (metade) do preço anterior. A pergunta é: qual o preço médio de venda dessas placas?

Passo 2

Vamos traduzir isso para linguagem matemática. Seja X a variável aleatória “preço de venda da placa”. Para cada número de defeitos k existe um preço correspondente x_k e uma probabilidade p_k. O preço médio (valor esperado) de X é dado pela fórmula para variáveis discretas:
E[X]=\sum_{k} x_k\,p_k.
Aqui x_k é o preço quando há k defeitos e p_k=P(\text{há }k\text{ defeitos})á. Vou calcular cada x_k e então aplicar essa soma.

Passo 3

Determinar a fórmula do preço em função de k. Se o preço inicial (sem defeitos) é \,R\$\,10{,}00 e a cada defeito ele é multiplicado por 0{,}5, então:
x_k = 10\cdot(0{,}5)^k\quad\text{(em reais)}.
Agora calculo cada x_k para k=0,1,2,3,4:
\begin{aligned} x_0 &= 10\cdot(0{,}5)^0 = 10,\\\ x_1 &= 10\cdot(0{,}5)^1 = 5,\\\ x_2 &= 10\cdot(0{,}5)^2 = 2{,}5,\\\ x_3 &= 10\cdot(0{,}5)^3 = 1{,}25,\\\ x_4 &= 10\cdot(0{,}5)^4 = 0{,}625. \end{aligned}

Passo 4

Escrever as probabilidades em forma decimal (para multiplicar facilmente):
\begin{aligned} p_0 &= 0{,}90,\\\ p_1 &= 0{,}05,\\\ p_2 &= 0{,}03,\\\ p_3 &= 0{,}01,\\\ p_4 &= 0{,}01. \end{aligned}
Agora calculo cada contribuição p_k x_k para a soma do valor esperado:
\begin{aligned} p_0 x_0 &= 0{,}90\cdot 10 = 9,\\\ p_1 x_1 &= 0{,}05\cdot 5 = 0{,}25,\\\ p_2 x_2 &= 0{,}03\cdot 2{,}5 = 0{,}075,\\\ p_3 x_3 &= 0{,}01\cdot 1{,}25 = 0{,}0125,\\\ p_4 x_4 &= 0{,}01\cdot 0{,}625 = 0{,}00625. \end{aligned}

Passo 5

Somar as contribuições para obter o valor esperado:
\begin{aligned} E[X] &= 9 + 0{,}25 + 0{,}075 + 0{,}0125 + 0{,}00625\\\ &= 9{,}25 + 0{,}075 + 0{,}0125 + 0{,}00625\\\ &= 9{,}325 + 0{,}0125 + 0{,}00625\\\ &= 9{,}3375 + 0{,}00625\\\ &= 9{,}34375. \end{aligned}

Passo 6

Interpretação: E[X]=9{,}34375 significa que, em média, cada placa é vendida por \,R\$\,9{,}34375. Como normalmente trabalhamos com dinheiro em centavos, arredondando para duas casas decimais temos \,R\$\,9{,}34.

Resposta

R\$\,9{,}34375 (aproximadamente R\$\,9{,}34)

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