4-) Uma máquina fabrica placas de papelão que podem apresentar nenhum, um, dois, três ou quatro defeitos, com probabilidade
,
e
, respectivamente. O preço de venda de uma placa perfeita é de
10,00$ e á medida que apresente defeitos, o preço cai 50% para cada defeito apresentado. Qual é o preço médio de vendas destas placas?
Passo 1
O enunciado dá a distribuição do número de defeitos por placa e pede o preço médio (esperado) de venda. Informações fornecidas:
O preço de uma placa perfeita é
. A cada defeito o preço cai
(metade) do preço anterior. A pergunta é: qual o preço médio de venda dessas placas?
Passo 2
Vamos traduzir isso para linguagem matemática. Seja
a variável aleatória “preço de venda da placa”. Para cada número de defeitos
existe um preço correspondente
e uma probabilidade
. O preço médio (valor esperado) de
é dado pela fórmula para variáveis discretas:
Aqui
é o preço quando há
defeitos e
. Vou calcular cada
e então aplicar essa soma.
Passo 3
Determinar a fórmula do preço em função de
. Se o preço inicial (sem defeitos) é
e a cada defeito ele é multiplicado por
, então:
Agora calculo cada
para
:
Passo 4
Escrever as probabilidades em forma decimal (para multiplicar facilmente):
Agora calculo cada contribuição
para a soma do valor esperado:
Passo 5
Somar as contribuições para obter o valor esperado:
Passo 6
Interpretação:
significa que, em média, cada placa é vendida por
. Como normalmente trabalhamos com dinheiro em centavos, arredondando para duas casas decimais temos
.