quatro objetos partem do repouso e descem uma rampa rolando sem
escorregar. Os objetos são uma esferamaciça, um cilindro oco, um cilindro maciço e uma esfera oca.
Todos os objetos têm o mesmo raio e a mesma massa, mas são feitos de materiais diferentes. Qual dos objetos chega ao final da rampa com mior velocidade angular?

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que quatro objetos (esfera maciça, cilindro maciço, cilindro oco e esfera oca), todos com mesma massa e mesmo raio , descem uma rampa rolando sem escorregar. A dúvida é: qual deles chega ao fim com a maior velocidade angular ?
Conteúdo: rotação sem escorregar e conservação de energia.
O que vamos precisar:
  • Energia potencial gravitacional .
  • Energia cinética de translação .
  • Energia cinética de rotação .
  • Condição de não escorregar .

Passo 2

Vamos usar conservação de energia. No topo da rampa a energia é toda potencial:
mgh
No final vira parte cinética de translação e parte de rotação:
mgh = tfrac12 m v^2 + tfrac12 I,omega^2
Como não escorrega, mgh = tfrac12 m v^2 + tfrac12 Il(tfracvRr)^2 = tfrac12 m v^2 + tfrac12IR^2v^2 = tfrac12 m v^2l(1 + ImR^2r) . Substituindo:
v^2 = 2gh1 + ImR^2
Isolando omega = vR = raiz2ghR^2l(1 + tfracImR^2r) :
Logo a velocidade angular no final é

Passo 3

Perceba que cresce se o denominador for menor. Agora usamos os momentos de inércia ( ) de cada corpo:
  1. Esfera maciça:
  2. Cilindro maciço:
  3. Esfera oca:
  4. Cilindro oco:

Passo 4

Como o menor valor de é , quem tem a maior é a esfera maciça.

Resposta

A esfera maciça chega ao final da rampa com a maior velocidade angular.

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