Uma queda de pressão de 200 kPa não deve ser excedida em um tubo horizontal de 4 cm de diâmetro e 100 m de comprimento. Estime a vazão máxima se água a 20^{\circ} \mathrm{C} é transportada e o tubo for de:
(c) Plástico

Passo 1

O enunciado pede a vazão máxima em um tubo horizontal de diâmetro interno D=0,04,m e comprimento L=100,m, de modo que a queda de pressão não ultrapasse \Delta p_{\max}=200\,\text{kPa}, transportando água a 20^{\circ}\mathrm{C}. O conteúdo necessário envolve o uso da equação de Darcy–Weisbach para perda de carga e uma estimativa do fator de atrito f em tubos de plástico (superfície muito lisa).

Passo 2

Listamos as propriedades da água e do tubo plástico:
– Densidade da água: \rho=998,kg/ m^{3}.
– Viscosidade cinemática: \nu=1{,}0\times10^{-6}, m^{2}/s.
– Rugosidade absoluta do plástico (PVC típico): \varepsilon=1{,}5\times10^{-6},m.
– Rugosidade relativa:
\frac{\varepsilon}{D} = \frac{1{,}5\times10^{-6}}{0,04} = 3{,}75\times10^{-5}.

Passo 3

Em regime turbulento e com rugosidade tão pequena, podemos tratar o tubo como hidraulicamente liso e usar a correlação de Blasius para f (válida até \mathrm{Re}\sim10^5\!-\!10^6):
f = 0{,}3164\,\mathrm{Re}^{-0{,}25},
onde o número de Reynolds é
\mathrm{Re} = \frac{V\,D}{\nu}.

Passo 4

A equação de Darcy–Weisbach dá a perda de carga
\Delta p = f\,\frac{L}{D}\,\frac{\rho\,V^2}{2}.
Substituímos f e \mathrm{Re}=V\,D/\nu em função de V:
  1. \mathrm{Re}= \dfrac{V\cdot0,04}{1{,}0\times10^{-6}} = 4,0\times10^4\,V.
f = 0{,}3164\,(4{,}0\times10^4\,V)^{-0{,}25} =0{,}3164\,(4{,}0\times10^4)^{-0{,}25}\,V^{-0{,}25} \approx0{,}02237\,V^{-0{,}25}.
  1. Logo
\Delta p = 0{,}02237\,V^{-0{,}25}\,\frac{100}{0,04}\,\frac{998\,V^2}{2} \approx2{,}79\times10^4\,V^{1{,}75}.

Passo 5

Impondo \Delta p=200\,000,Pa, temos
2{,}79\times10^4\,V^{1{,}75}=2{,}00\times10^5 \quad\Longrightarrow\quad V^{1{,}75} = \frac{2{,}00\times10^5}{2{,}79\times10^4}\approx7{,}17 \quad\Longrightarrow\quad V \approx 7{,}17^{1/1{,}75}\approx3{,}08\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

A vazão volumétrica é
Q = V\,\frac{\pi D^2}{4} =3{,}08\,\frac{\pi (0,04)^2}{4} \approx3{,}87\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} \approx3{,}87\\ \mathrm{L/s}.

Resposta

A vazão máxima é aproximadamente
Q \approx 3{,}9\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s} \quad(\text{\approx }3{,}9\\ \mathrm{L/s}).

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