Queda de tensão em alimentador e efeito do capacitor série
Um alimentador trifásico de média tensão (valores por fase) possui R_{\ell}=0,8 \Omega \mathrm{e} X_{\ell}=4,0 \Omega. A ponta do alimentador atende P=1,8 \mathrm{MW} a \mathrm{fp}=0,80 (atrasado) em 13,8 \mathrm{kV}.
(a) Estime a corrente e a queda de tensão na ponta sem compensação (use \Delta V \approx \left.I\left(R_{\ell} \cos \gamma+X_{\ell} \sin \gamma\right)\right).
(b) Insira um capacitor série equivalente a 30 \% de X_{\ell} e recalcule a regulação de tensão.
(c) Explique a diferença do mecanismo físico do série em relação ao shunt (alterar X da linha vs. suprimento local de Q ).

Passo 1

O enunciado nos dá os dados e pede três coisas. Vou listar com calma para não perder nada:
Dados:
R_{\ell}=0,8\\ \Omega,\quad X_{\ell}=4,0\\ \Omega
P=1{,}8\\ \text{MW}=1{,}8\cdot10^{6}\\ \mathrm{W},\quad \text{fp}=0{,}80\\ (\text{atrasado})
V_{LL}=13{,}8\\ \text{kV}=13{,}800\\ \mathrm{V}
Perguntas:
(a) Estimar a corrente e a queda de tensão na ponta sem compensação, usando a aproximação
\Delta V \approx I\bigl(R_{\ell}\cos\gamma + X_{\ell}\sin\gamma\bigr).
(b) Inserir um capacitor série equivalente a 30\% de X_{\ell} (ou seja, reduzir X_{\ell} em 30\%) e recalcular a regulação de tensão.
(c) Explicar, de forma física, por que o efeito do capacitor série é diferente do capacitor shunt (ou seja, diferença entre alterar X da linha e suprir Q localmente).

Passo 2

Primeiro vamos achar a corrente de linha. Vou explicar passo a passo a fórmula.
  • A potência ativa trifásica P está relacionada à tensão de linha V_{LL}, à corrente de linha I e ao fator de potência \mathrm{fp}=\cos\gamma por:
P=\sqrt{3}\,V_{LL}\,I\cos\gamma.
Aqui:
  • P é a potência ativa total (em W).
  • V_{LL} é a tensão linha-linha (em V).
  • I é a corrente de linha (em A).
  • \cos\gamma é o fator de potência (para carga atrasada \gamma>0).
  • Isolando I:
I=\dfrac{P}{\sqrt{3}\,V_{LL}\cos\gamma}.
  • Calculamos o ângulo de potência \gamma a partir do fator de potência:
\cos\gamma=0{,}80 \quad\Rightarrow\quad \gamma=\operatorname{arccos}(0{,}80).
Neste caso \gamma é um ângulo conhecido da trigonometria: \cos\gamma=0{,}8 e \sin\gamma=0{,}6 (triângulo 3\!:\!4\!:\!5 em proporção).
  • Agora aplicamos os números:
I=\dfrac{1{,}8\cdot10^{6}}{\sqrt{3}\cdot 13{,}800 \cdot 0{,}80}.
Faço a conta passo a passo:
\sqrt{3}\approx 1{,}73205,\qquad \sqrt{3}\cdot13{,}800\cdot0{,}80\approx 19\,121{,}33
I\approx \dfrac{1{,}800{,}000}{19\,121{,}33}\approx 94{,}18\\ \mathrm{A}.
Então a corrente de linha é \displaystyle I\approx 94{,}18\\ \mathrm{A}.

Passo 3

Agora calculamos a queda de tensão sem compensação usando a expressão fornecida. Primeiro defino a tensão de fase (porque normalmente a queda que calculamos é por fase):
  • Tensão de fase:
V_{\varphi}=\dfrac{V_{LL}}{\sqrt{3}}=\dfrac{13{,}800}{\sqrt{3}}\approx 7{,}978{,}85\\ \mathrm{V}.
  • A expressão aproximada dada é
\Delta V \approx I\bigl(R_{\ell}\cos\gamma + X_{\ell}\sin\gamma\bigr).
Vou explicar por que essa forma faz sentido (de forma intuitiva): a queda de tensão phasor é \Delta \mathbf{V}=I(R_{\ell}+jX_{\ell}). Para saber quanto isso “reduz” a magnitude da tensão final (regulação), projetamos essa queda na direção da tensão (componentes ativos e reativos combinam com \cos\gamma e \sin\gamma), e a expressão dada é a aproximação prática usada em problemas de regulação para cargas com ângulo \gamma.
  • Substituindo números (lembre que \cos\gamma=0{,}8 e \sin\gamma=0{,}6):
R_{\ell}\cos\gamma = 0{,}8\cdot0{,}8 = 0{,}64\\ \Omega,
X_{\ell}\sin\gamma = 4{,}0\cdot0{,}6 = 2{,}40\\ \Omega,
R_{\ell}\cos\gamma + X_{\ell}\sin\gamma = 0{,}64 + 2{,}40 = 3{,}04\\ \Omega.
\Delta V \approx 94{,}18\cdot 3{,}04 \approx 286{,}31\\ \mathrm{V}.
  • Em porcentagem da tensão de fase:
\text{Regulação}\approx \dfrac{286{,}31}{7{,}978{,}85}\times100\%\approx 3{,}59\%.çã
Portanto, sem compensação a queda na ponta é cerca de 286{,}3\\ \mathrm{V}, ou aproximadamente 3{,}59\% da tensão de fase (ou da tensão nominal considerada).

Passo 4

Agora fazemos a compensação série: "um capacitor série equivalente a 30\% de X_{\ell}". Vou interpretar isso como reduzir o reatância série líquida da linha em 30\%, ou seja:
X_{\text{novo}} = X_{\ell} - 0{,}30 X_{\ell} = 0{,}70 X_{\ell}.
(Isto significa que o capacitor colocado em série fornece uma reatância capacitiva que em módulo é 0{,}30 X_{\ell} e, em conjunto com X_{\ell}, reduz o reatância total.)
  • Calculando:
X_{\text{novo}}=0{,}70\cdot 4{,}0 = 2{,}8\\ \Omega.
  • Recalculo a expressão de queda com o mesmo I (por que o mesmo I? Porque o enunciado diz que a ponta atende P a \mathrm{fp} em 13{,}8\\ \mathrm{kV}: isso significa que a carga continua consumindo a mesma potência e o mesmo fator de potência na tensão indicada — portanto, o valor de corrente imposto pela carga no ponto de entrega não muda quando eu apenas altero a reatância da linha por um capacitor série. Ou seja, estamos avaliando a queda de tensão para a mesma carga terminal.)
R_{\ell}\cos\gamma = 0{,}8\cdot0{,}8 = 0{,}64\\ \Omega,
X_{\text{novo}}\sin\gamma = 2{,}8\cdot0{,}6 = 1{,}68\\ \Omega,
R_{\ell}\cos\gamma + X_{\text{novo}}\sin\gamma = 0{,}64 + 1{,}68 = 2{,}32\\ \Omega.
\Delta V_{\text{comp}} \approx 94{,}18\cdot 2{,}32 \approx 218{,}56\\ \mathrm{V}.
  • Em porcentagem da tensão de fase:
\text{Regulação com série}\approx \dfrac{218{,}56}{7{,}978{,}85}\times100\%\approx 2{,}74\%.çãé
  • Comparação simples: a queda caiu de 286{,}31\\ \mathrm{V} para 218{,}56\\ \mathrm{V}, uma redução absoluta de 67{,}75\\ \mathrm{V}, ou uma redução relativa da queda de aproximadamente 23{,}7\%.

Passo 5

Explico de forma didática e física a diferença entre capacitor série e capacitor shunt (para você levar na prova):
  • Capacitor série:
    • Atua direto na impedância série da linha: ele fornece uma reatância capacitiva colocada em série com a reatância indutiva da linha, reduzindo a reatância líquida que a corrente precisa “atravessar”.
    • Consequência prática: para a mesma corrente, a componente reativa da queda de tensão I X diminui porque X efetivo da linha é menor. No cálculo, vimos X_{\ell} passou de 4{,}0\\ \Omega para 2{,}8\\ \Omega, reduzindo a parcela X\sin\gamma na expressão da queda.
    • Importante: o capacitor série não fornece reativos diretamente à carga — ele altera a impedância que conecta fonte e carga. Em certas condições (e dependendo do ponto de operação), isso também pode alterar a corrente, mas no problema específico assumimos a carga mantida nas mesmas condições terminales.
  • Capacitor shunt (conectado em paralelo com a carga ou em barras próximas à carga):
    • Fornece potência reativa localmente ( Q) à carga. Isso reduz o componente reativo da corrente que precisa vir da fonte.
    • Consequência prática: a corrente de linha I diminui (principalmente a componente reativa), e como a queda de tensão depende de I multiplicado por R e X, a queda total tende a reduzir por causa do menor I. Além disso, o shunt pode melhorar o fator de potência visto pela fonte (aumenta \cos\gamma efetivo).
    • Ou seja: shunt age reduzindo a corrente (suprindo Q localmente); série age reduzindo a impedância que causa queda (diminuindo X efetivo).
  • Intuição comparativa:
    • Se a linha for muito reativa, reduzir X série é direto para cortar a queda reativa. Mas um shunt bem dimensionado pode, em muitos casos, reduzir ainda mais a queda porque diminui a própria corrente que multiplica tanto R quanto X.
    • Em resumo: série = altera o “caminho” (a impedância); shunt = fornece “combustível reativo” local, diminuindo o que precisa vir do gerador.

Resposta

(a) I\approx 94{,}18\\ \mathrm{A}. Queda sem compensação \Delta V\approx 286{,}31\\ \mathrm{V} (≈ 3{,}59\% da tensão de fase).\n
(b) Com capacitor série de 30\% de X_{\ell}: X_{\text{novo}}=2{,}8\\ \Omega, \Delta V_{\text{comp}}\approx 218{,}56\\ \mathrm{V} (≈ 2{,}74\% da tensão de fase).\n
(c) Mecanismo: o capacitor série reduz a reatância série da linha (diminui X que provoca queda), enquanto o capacitor shunt fornece Q local, reduzindo a corrente requerida da fonte; série altera a impedância do caminho, shunt reduz a corrente (suprimento local de reativos).

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