Variação de kVAr com a tensão
Um banco de capacitores trifásico está nominalmente especificado para 60 kVAr a 440 \mathrm{~V}, 60 \mathrm{~Hz}.
(a) Estime quanto k V A r ele fornece se a tensão do barramento cair para 400 V e , depois, se subir para 480 V (use que Q \propto V^{2} ).
(b) Explique por que bancos shunt capacitivos ficam “mais fracos” quando a tensão cai e “mais fortes” quando a tensão sobe.
(c) Qual a implicação prática para correção de fator de potência quando a rede está abaixo ou acima da tensão nominal? (comente risco de sub e supercompensação).

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Estimar quanto de potência reativa (kVAr) o banco fornece quando a tensão do barramento cai para 400\\ \mathrm{V} e quando sobe para 480\\ \mathrm{V}, sabendo que o banco é especificado para 60\\ \mathrm{kVAr} a 440\\ \mathrm{V} e que Q \propto V^{2}.
  2. (b) Explicar por que bancos shunt capacitivos ficam “mais fracos” quando a tensão cai e “mais fortes” quando a tensão sobe.
  3. (c) Discutir a implicação prática para correção do fator de potência quando a rede está abaixo ou acima da tensão nominal, comentando riscos de subcompensação e supercompensação.
Dados relevantes fornecidos:
Q_{\text{nom}} = 60\\ \mathrm{kVAr},\quad V_{\text{nom}} = 440\\ \mathrm{V},\quad \text{frequência } = 60\\ \mathrm{Hz},ê
e a relação dada:
Q \propto V^{2}.

Passo 2

Entendendo a origem de Q \propto V^{2} (aula curta e prática).
  • Para um capacitor ideal com capacitância C em regime senoidal, a corrente instantânea é dada por i_C(t)=C\,\dfrac{dv(t)}{dt}. Se v(t)=V_m\sin(\omega t), então i_C(t)=\omega C V_m\cos(\omega t).
  • Em termos de valores eficazes (rms): \displaystyle I_{C,\mathrm{rms}}=\omega C\,V_{\mathrm{rms}}. Aqui \omega=2\pi f e f é a frequência; V_{\mathrm{rms}} é a tensão eficaz.
  • A potência reativa (por fase) fornecida pelo capacitor é o produto da tensão eficaz pela corrente eficaz (com sinal reativo): \displaystyle Q_{\text{fase}}=V_{\mathrm{rms}}\cdot I_{C,\mathrm{rms}}=\omega C\,V_{\mathrm{rms}}^{2}.
  • Para um banco trifásico com capacitância total equivalente fixa, o total continua sendo proporcional a V_{\mathrm{rms}}^{2}. Como f (e portanto \omega) e C são constantes, concluímos:
Q \propto V^{2}.
  • Intuição física rápida: a energia armazenada num capacitor é \displaystyle E=\tfrac{1}{2}C V^{2}. Quando V muda, a energia e a capacidade de entregar/absorver reativo mudam com V^{2}.

Passo 3

Aplicando a proporcionalidade para calcular Q quando a tensão muda.
  • Fórmula prática que vamos usar (direta e muito usada em engenharia):
Q_{\text{novo}} = Q_{\text{nom}}\left(\dfrac{V_{\text{novo}}}{V_{\text{nom}}}\right)^{2}.
  • Aqui Q_{\text{nom}}=60\\ \mathrm{kVAr} e V_{\text{nom}}=440\\ \mathrm{V}. Vamos calcular para V_{\text{novo}}=400\\ \mathrm{V}.

Passo 4

Cálculo para V_{\text{novo}}=400\\ \mathrm{V}.
\left(\dfrac{400}{440}\right)^{2}=\left(\dfrac{40}{44}\right)^{2}=\left(\dfrac{10}{11}\right)^{2}\approx 0{,}826446.
Q_{400}=60\cdot 0{,}826446\\ \mathrm{kVAr}\approx 49{,}6\\ \mathrm{kVAr}.
Portanto, quando a tensão cai para 400\\ \mathrm{V}, o banco fornece aproximadamente 49{,}6\\ \mathrm{kVAr}.

Passo 5

Cálculo para V_{\text{novo}}=480\\ \mathrm{V}.
\left(\dfrac{480}{440}\right)^{2}=\left(\dfrac{48}{44}\right)^{2}=\left(\dfrac{12}{11}\right)^{2}\approx 1{,}190083.
Q_{480}=60\cdot 1{,}190083\\ \mathrm{kVAr}\approx 71{,}4\\ \mathrm{kVAr}.
Portanto, quando a tensão sobe para 480\\ \mathrm{V}, o banco fornece aproximadamente 71{,}4\\ \mathrm{kVAr}.

Passo 6

Resposta didática para (b): por que ficam “mais fracos” ou “mais fortes”.
  • O capacitor tem capacitância fixa C. A corrente capacitiva eficaz é proporcional à tensão eficaz ( I_{C,\mathrm{rms}}=\omega C V_{\mathrm{rms}}). A potência reativa que o capacitor fornece é Q\sim V_{\mathrm{rms}}\cdot I_{C,\mathrm{rms}}, daí o V^{2}.
  • Se a tensão cai, tanto a corrente capacitiva quanto a energia armazenada caem — logo o banco entrega menos kVAr: “fica mais fraco”.
  • Se a tensão sobe, a corrente capacitiva e a energia armazenada aumentam — o banco entrega mais kVAr: “fica mais forte”.
  • Intuição simples: capacitor entrega reativo por depender da tensão sobre ele; reduzir a tensão reduz radicalmente (quadraticamente) a capacidade de fornecer reativo.

Passo 7

Resposta didática para (c): implicações práticas, riscos e medidas.
  • Quando a rede está abaixo da tensão nominal (subtensão):
    • O banco fornece menos kVAr do que o nominal → risco de subcompensação: o fator de potência desejado pode não ser alcançado, gerando multas ou perdas maiores.
  • Quando a rede está acima da tensão nominal (sobretensão):
    • O banco fornece mais kVAr do que o esperado → risco de supercompensação: o sistema pode ficar com fator de potência leading (capacitivo), o que pode gerar sobretensão em algumas cargas, corrente de retorno indesejada e problemas com proteção e operação; também aumenta risco de ressonância com indutâncias do sistema (amplificando harmônicos).
  • Medidas práticas para mitigar riscos:
    • Controladores de banco de capacitores devem medir reativo ou fator de potência real no ponto de conexão e não apenas ligar/desligar por tempo fixo; usar controle baseado em medição evita surpresas por variação de tensão.
    • Usar bancos por etapas (step switching) para ajustar finamente a correção.
    • Em sistemas com harmônicos, usar filtros detunados (reator série) para evitar ressonância quando o banco se conecta.
    • Projetar margens de projeto e lógica de controle para evitar que bancos fixos provoquem leading PF em condições de sobretensão.
  • Em resumo: ajustar a estratégia de comutação e proteção do banco para que a correção seja dinâmica e baseada em medidas, evitando subcompensação em subtensão e supercompensação e riscos associados em sobretensão.

Resposta

(a) Q_{400}\approx 49{,}6\\ \mathrm{kVAr} e Q_{480}\approx 71{,}4\\ \mathrm{kVAr}.
(b) Porque para um capacitor fixo Q=\omega C V^{2} (ou seja Q\propto V^{2}); menor tensão → menor corrente/energia armazenada → menos kVAr; maior tensão → mais kVAr.
(c) Na prática: em subtensão o banco pode não atingir a correção desejada (subcompensação); em sobretensão pode causar supercompensação (PF leading), riscos de sobretensão e ressonância. A solução é controle baseado em medição (PF ou Q), com etapas e filtros detunados.

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