Quer-se construir uma base de apoio, de largura \mathrm{AB}=1=50 \mathrm{~cm}, que deve permanecer constante com a variação da temperatura. Determine os comprimentos da barra EF , de invar, e \mathrm{DA}=\mathrm{BC}, de ferro. Dados: \alpha_{\text {invar }}=0,7 \cdot 10^{-60} \mathrm{C}^{-1} e \alpha \mathrm{Fe}=12 \cdot 10^{-60} \mathrm{C}^{-1}.

Passo 1

O enunciado pede uma armação retangular cuja folga superior \text{AB}=l deve permanecer constante quando a temperatura variar. Temos
– duas barras horizontais superiores \text{DA}=\text{BC}=x de ferro \alpha_{\text{Fe}}=12\times10^{-6}\,^\circ\!C^{-1},
– uma barra inferior \text{EF}=L de invar \alpha_{\text{invar}}=0,7\times10^{-6}\,^\circ\!C^{-1},
– e a largura desejada l=50,cm.
Queremos determinar x e L de modo que, para qualquer variação de temperatura \Delta T, a distância entre A e B não mude.

Passo 2

Na configuração inicial, em cada lateral há uma barra vertical que liga D–A no topo a E–F no pé, mas as únicas peças que contribuem horizontalmente para a separação entre os postes D e C são:
– no topo, DA + AB + BC = x + l + x = 2x + l,
– no pé, EF = L.
Como D e C ficam ligados pelas barras verticais (mesmo que mudem de altura), a distância horizontal DC no topo deve coincidir com EF na base. Logo, em repouso
L = 2x + l.

Passo 3

Ao aquecer de \Delta T, cada comprimento inicial L se torna L + \alpha_{\text{invar}}\,L\,\Delta T, e cada barra de ferro de comprimento x cresce para x + \alpha_{\text{Fe}}\,x\,\Delta T. A folga AB não se altera (é o espaço vazio), mas a distância DC no topo passa a ser
(x + \alpha_{\text{Fe}}\,x\,\Delta T)\;+\;l\;+\;(x + \alpha_{\text{Fe}}\,x\,\Delta T) =2x + l + 2\,\alpha_{\text{Fe}}\,x\,\Delta T.
Para que a armação permaneça retangular, essa distância deve igualar o novo EF:
2x + l + 2\,\alpha_{\text{Fe}}\,x\,\Delta T = L + \alpha_{\text{invar}}\,L\,\Delta T.
Usando L=2x+l e cancelando o termo 2x+l de ambos os lados, obtemos
2\,\alpha_{\text{Fe}}\,x\,\Delta T = \alpha_{\text{invar}}\,(2x + l)\,\Delta T.

Passo 4

Dividindo por \Delta T e rearranjando:
2\,\alpha_{\text{Fe}}\,x = 2\,\alpha_{\text{invar}}\,x + \alpha_{\text{invar}}\,l \quad\Longrightarrow\quad 2(\alpha_{\text{Fe}} - \alpha_{\text{invar}})\,x = \alpha_{\text{invar}}\,l
\displaystyle x =\frac{\alpha_{\text{invar}}\,l}{2\bigl(\alpha_{\text{Fe}}-\alpha_{\text{invar}}\bigr)} =\frac{0,7\times10^{-6}\times50}{2\bigl(12\times10^{-6}-0,7\times10^{-6}\bigr)} \approx1{,}55\text{ cm}.

Passo 5

Então
L = 2x + l = 2\cdot1{,}55 + 50 = 53{,}10\text{ cm}.

Resposta

Comprimento da barra de ferro \displaystyle \text{DA}=\text{BC}\approx1{,}55\text{ cm}.
Comprimento da barra de invar \displaystyle \text{EF}\approx53{,}10\text{ cm}.

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