QUEST. 1) Considere uma distribuição linear e infinita de cargas com densidade de cargas
localizada sobre o eixo y, e uma carga pontual
C localizada no ponto (
) do sistema de coordenadas cartesianas. Determine o campo elétrico no ponto
no sistema de coordenadas cilíndricas.
Passo 1
O enunciado dá:
- Uma distribuição linear infinita de carga ao longo do eixo
com densidade linear . - Uma carga pontual
localizada em . - O ponto onde se quer o campo elétrico é
.
O que se pede: - Determinar o campo elétrico em
no sistema de coordenadas cilíndricas (isto é, obter e escrever ).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
(densidade linear). - Posição da carga pontual:
. - Posição do ponto:
. - Superposição: o campo total é a soma vetorial do campo devido à linha infinita e do campo devido à carga pontual.
Passo 2
Plano de ataque e fórmulas que usarei (explicadas):
- Superposição:
. - Campo de linha infinita (eixo
): para uma linha infinita com densidade , a magnitude do campo a uma distância perpendicular da linha é
Essa expressão vem do uso da Lei de Gauss:
, levando a
.
- Direção do campo da linha: é radial no plano perpendicular ao eixo da linha (aqui o plano
), apontando para fora da linha se . O vetor unidade nessa direção é (componentes cartesianas). - Campo da carga pontual (Lei de Coulomb):
onde
é o vetor do ponto da carga para
e
.
- Depois de obter
no sistema cartesiano, converto para componentes cilíndricas usando, no ponto :
onde
,
e
.
Passo 3
Cálculo das quantidades geométricas no ponto
.
- Coordenadas cilíndricas (padrão com eixo
):
- Distância perpendicular do ponto
ao eixo da linha (eixo ): é a distância ao eixo , dada por
- Vetor do ponto de carga pontual para
: . - Norma desse vetor:
.
Passo 4
Campo elétrico devido à linha infinita (na forma cartesiana das componentes não-nulas).
- Magnitude do campo da linha:
- Direção: vetor de
normalizado; assim as componentes cartesianas (o campo não tem componente em ) são
- Substituindo
, , e :
Passo 5
Campo elétrico devido à carga pontual (componentes cartesianas).
- Usando Coulomb:
- Como
, as componentes são
Passo 6
Superposição: somo as contribuições (componentes cartesianas totais).
Simplificando
:
. Então
Para ficar mais compacto uso
. Como
, reescrevo as componentes em termos de
:
Passo 7
Conversão para coordenadas cilíndricas no ponto
.
- Fórmulas de conversão (lembrando
):
- Calcule
:
Fazendo as contas com frações:
Somando:
- Calcule
:
Ou seja
(resolvendo a fração dá)
(positivo/negativo conferido: o resultado é negativo, ou seja tem sentido
.)
-
já temos:
Passo 8
Escrevo o campo total em base cilíndrica, agrupando o fator
:
onde
.