QUEST. 1) Considere uma distribuição linear e infinita de cargas com densidade de cargas \rho_{L}=\frac{Q_{0}}{10} \mathrm{C} / \mathrm{m} localizada sobre o eixo y, e uma carga pontual Q_{0} C localizada no ponto ( -4,0,0 ) do sistema de coordenadas cartesianas. Determine o campo elétrico no ponto P(x=-4, y=3, z=4) no sistema de coordenadas cilíndricas. (3,5)

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma distribuição linear infinita de carga ao longo do eixo y com densidade linear \rho_{L}=\dfrac{Q_{0}}{10}\\ \mathrm{C/m}.
  • Uma carga pontual Q_{0} localizada em (-4,0,0).
  • O ponto onde se quer o campo elétrico é P(-4,3,4).
    O que se pede:
  • Determinar o campo elétrico em P no sistema de coordenadas cilíndricas (isto é, obter E_{\rho},E_{\varphi},E_{z} e escrever \mathbf{E}=E_{\rho}\,\hat{\rho}+E_{\varphi}\,\hat{\varphi}+E_{z}\,\hat{z}).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • \lambda=\rho_{L}=\dfrac{Q_{0}}{10} (densidade linear).
  • Posição da carga pontual: \mathbf{r}_q=(-4,0,0).
  • Posição do ponto: \mathbf{r}_P=(-4,3,4).
  • Superposição: o campo total é a soma vetorial do campo devido à linha infinita e do campo devido à carga pontual.

Passo 2

Plano de ataque e fórmulas que usarei (explicadas):
  • Superposição: \mathbf{E}=\mathbf{E}_{\text{linha}}+\mathbf{E}_{\text{ponto}}.
  • Campo de linha infinita (eixo y): para uma linha infinita com densidade \lambda, a magnitude do campo a uma distância perpendicular r_{\perp} da linha é
E_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r_{\perp}}.
Essa expressão vem do uso da Lei de Gauss: \epsilon_0\oint\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\lambda L, levando a E(2\pi r_{\perp} L)=\lambda L.
  • Direção do campo da linha: é radial no plano perpendicular ao eixo da linha (aqui o plano x\!-\!z), apontando para fora da linha se \lambda>0. O vetor unidade nessa direção é \dfrac{(x,0,z)}{\sqrt{x^2+z^2}} (componentes cartesianas).
  • Campo da carga pontual (Lei de Coulomb):
\mathbf{E}_{\text{ponto}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\,\frac{Q_0\,\mathbf{r}}{r^3},
onde \mathbf{r}=\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_q é o vetor do ponto da carga para P e r=|\mathbf{r}|.
  • Depois de obter (E_x,E_y,E_z) no sistema cartesiano, converto para componentes cilíndricas usando, no ponto P:
E_{\rho}=E_x\cos\varphi+E_y\sin\varphi,\qquad E_{\varphi}=-E_x\sin\varphi+E_y\cos\varphi,\qquad E_z=E_z,
onde \cos\varphi=\dfrac{x}{\rho}, \sin\varphi=\dfrac{y}{\rho} e \rho=\sqrt{x^2+y^2}.

Passo 3

Cálculo das quantidades geométricas no ponto P(-4,3,4).
  • Coordenadas cilíndricas (padrão com eixo z):
\rho=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(-4)^2+3^2}=\sqrt{16+9}=5.
\cos\varphi=\frac{x}{\rho}=\frac{-4}{5},\qquad \sin\varphi=\frac{y}{\rho}=\frac{3}{5}.
z=4.
  • Distância perpendicular do ponto P ao eixo da linha (eixo y): é a distância ao eixo y, dada por
r_{\perp}=\sqrt{x^2+z^2}=\sqrt{(-4)^2+4^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}.
  • Vetor do ponto de carga pontual para P: \mathbf{r}=\mathbf{r}_P-\mathbf{r}_q = (-4,3,4)-(-4,0,0)=(0,3,4).
  • Norma desse vetor: r=|\mathbf{r}|=\sqrt{0^2+3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.

Passo 4

Campo elétrico devido à linha infinita (na forma cartesiana das componentes não-nulas).
  • Magnitude do campo da linha:
E_{\text{linha}}=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r_{\perp}} =\frac{(Q_0/10)}{2\pi\epsilon_0(4\sqrt{2})}.
  • Direção: vetor de (x,0,z) normalizado; assim as componentes cartesianas (o campo não tem componente em y) são
E_{x}^{(\text{linha})}=E_{\text{linha}}\frac{x}{r_{\perp}},\qquad E_{y}^{(\text{linha})}=0,\qquad E_{z}^{(\text{linha})}=E_{\text{linha}}\frac{z}{r_{\perp}}.
  • Substituindo x=-4, z=4, r_{\perp}^2=32 e \lambda=Q_0/10:
E_{x}^{(\text{linha})}=\frac{\lambda x}{2\pi\epsilon_0 r_{\perp}^2} =\frac{(Q_0/10)(-4)}{2\pi\epsilon_0\cdot 32} =-\frac{Q_0}{160\pi\epsilon_0}.
E_{z}^{(\text{linha})}=\frac{\lambda z}{2\pi\epsilon_0 r_{\perp}^2} =\frac{(Q_0/10)(4)}{2\pi\epsilon_0\cdot 32} =+\frac{Q_0}{160\pi\epsilon_0}.

Passo 5

Campo elétrico devido à carga pontual (componentes cartesianas).
  • Usando Coulomb:
\mathbf{E}_{\text{ponto}}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_0\,\mathbf{r}}{r^3} =\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{Q_0(0,3,4)}{5^3}.
  • Como 5^3=125, as componentes são
E_x^{(\text{ponto})}=0,\qquad E_y^{(\text{ponto})}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{3Q_0}{125}=\frac{3Q_0}{500\pi\epsilon_0},
E_z^{(\text{ponto})}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{4Q_0}{125}=\frac{Q_0}{125\pi\epsilon_0}.

Passo 6

Superposição: somo as contribuições (componentes cartesianas totais).
E_x=E_x^{(\text{linha})}+E_x^{(\text{ponto})}=-\frac{Q_0}{160\pi\epsilon_0}+0=-\frac{Q_0}{160\pi\epsilon_0}.
E_y=E_y^{(\text{linha})}+E_y^{(\text{ponto})}=0+\frac{3Q_0}{500\pi\epsilon_0}=\frac{3Q_0}{500\pi\epsilon_0}.
E_z=E_z^{(\text{linha})}+E_z^{(\text{ponto})}=\frac{Q_0}{160\pi\epsilon_0}+\frac{Q_0}{125\pi\epsilon_0}.
Simplificando E_z: \dfrac{1}{160}+\dfrac{1}{125}=\dfrac{125+160}{20000}=\dfrac{285}{20000}=\dfrac{57}{4000}. Então
E_z=\frac{57Q_0}{4000\pi\epsilon_0}.
Para ficar mais compacto uso k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}. Como 1/(\pi\epsilon_0)=4k, reescrevo as componentes em termos de k:
E_x=-\frac{kQ_0}{40},\qquad E_y=\frac{3kQ_0}{125},\qquad E_z=\frac{57kQ_0}{1000}.

Passo 7

Conversão para coordenadas cilíndricas no ponto P.
  • Fórmulas de conversão (lembrando \cos\varphi=-4/5,\\ \sin\varphi=3/5):
E_{\rho}=E_x\cos\varphi+E_y\sin\varphi,\qquad E_{\varphi}=-E_x\sin\varphi+E_y\cos\varphi,\qquad E_z=E_z.
  • Calcule E_{\rho}:
E_{\rho}= \left(-\frac{kQ_0}{40}\right)\left(-\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{3kQ_0}{125}\right)\left(\frac{3}{5}\right).
Fazendo as contas com frações:
\left(-\frac{1}{40}\right)\left(-\frac{4}{5}\right)=\frac{1}{50},\qquad \left(\frac{3}{125}\right)\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{9}{625}.
Somando:
E_{\rho}=kQ_0\!\left(\frac{1}{50}+\frac{9}{625}\right)=kQ_0\cdot\frac{43}{1250}.
  • Calcule E_{\varphi}:
E_{\varphi}=-\left(-\frac{kQ_0}{40}\right)\left(\frac{3}{5}\right)+\left(\frac{3kQ_0}{125}\right)\left(-\frac{4}{5}\right).
Ou seja
E_{\varphi}=kQ_0\!\left(\frac{3}{40}-\frac{12}{125}\right)\cdot\frac{1}{5}
(resolvendo a fração dá)
E_{\varphi}=-\frac{21}{5000}\,kQ_0.
(positivo/negativo conferido: o resultado é negativo, ou seja tem sentido -\hat{\varphi}.)
  • E_z já temos:
E_z=\frac{57}{1000}\,kQ_0.

Passo 8

Escrevo o campo total em base cilíndrica, agrupando o fator k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}:
\mathbf{E}(P)=kQ_0\left(\frac{43}{1250}\,\hat{\rho}-\frac{21}{5000}\,\hat{\varphi}+\frac{57}{1000}\,\hat{z}\right),
onde k=\dfrac{1}{4\pi\epsilon_0}.

Resposta

\mathbf{E}(P)=\frac{Q_0}{4\pi\epsilon_0}\left(\frac{43}{1250}\,\hat{\rho}-\frac{21}{5000}\,\hat{\varphi}+\frac{57}{1000}\,\hat{z}\right).

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