Partículas geradas em colisões em aceleradores de partículas, como o LHC, têm um “tempo de vida” muito pequeno antes de decair, ou seja, tornarem-se outra partícula. Suponha que o tempo de vida de uma dessas partículas em alta velocidade, determinado pelos pesquisadores, é 5,0 \times 10^{-7} \mathrm{~s}. Sabendo que o tempo de vida dessa partícula no referencial em que ela se movimenta é 2,0 \times 10^{-8} s , determine o módulo da velocidade dessa partícula. (Dado: velocidade da luz no vácuo: c=3,0 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}.)

Passo 1

O enunciado dá os seguintes valores (peguei todos do enunciado):
  • Tempo de vida medido no laboratório (tempo dilatado): t=5,0\times10^{-7}\\ \mathrm{s}.
  • Tempo de vida no referencial da partícula (tempo próprio): t_0=2,0\times10^{-8}\\ \mathrm{s}.
  • Velocidade da luz: c=3,0\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
O que o problema pede:
  • Determinar o módulo da velocidade v da partícula.

Passo 2

Vou usar a relação da dilatação temporal (fórmula fundamental aqui). A relação entre o tempo dilatado t, o tempo próprio t_0 e o fator de Lorentz \gamma é
t=\gamma\,t_0.
Nessa fórmula:
  • t é o tempo medido no referencial onde a partícula se move (no laboratório).
  • t_0 é o tempo próprio da partícula (tempo medido no referencial em que ela está em repouso).
  • \gamma é o fator de Lorentz, dado por
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}.
Explicando de forma simples: \gamma\ge1 e mede quanto o tempo “se alonga” quando a partícula se move rápido. Para achar v vamos obter \gamma a partir dos tempos e então inverter a expressão para achar v.

Passo 3

Calculo \gamma a partir de t=\gamma t_0:
\gamma=\frac{t}{t_0}=\frac{5,0\times10^{-7}}{2,0\times10^{-8}}.
Faço a conta:
\gamma=\frac{5,0}{2,0}\times10^{-7-(-8)}=2,5\times10^{1}=25.

Passo 4

Agora uso a definição de \gamma para isolar v. Começo escrevendo
\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}
e elevo ao quadrado e inverto para obter
\frac{1}{\gamma^2}=1-\frac{v^2}{c^2}.
Isolando \dfrac{v^2}{c^2} resulta
\frac{v^2}{c^2}=1-\frac{1}{\gamma^2},
e portanto
v=c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}.

Passo 5

Substituo \gamma=25 e calculo numericamente:
\frac{1}{\gamma^2}=\frac{1}{25^2}=\frac{1}{625}=0,0016,
1-\frac{1}{\gamma^2}=1-0,0016=0,9984,
\sqrt{0,9984}\approx0,9992.
Logo
v=c\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}\approx(3,0\times10^{8})\times0,9992=2,9976\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
Também é útil ver a velocidade em fração de c:
v\approx0,9992\,c.

Passo 6

Interpretação rápida e arredondamento: com os dados dados (duas algarismos significativos), apresentar v\approx2,9976\times10^{8}\\ \mathrm{m/s} ou v\approx0,9992\,c mostra que a partícula tem velocidade muito próxima da luz, o que justifica a dilatação temporal observada.

Resposta

v\approx2,9976\times10^{8}\\ \mathrm{m/s}\approx0,9992\,c

Exercícios relacionados