Qual é o comprimento de um trem viajando a uma velocidade de 70velocidade da luz para uma pessoa que está parada do lado de fora do trem, em uma plataforma de uma estação ferroviária? O comprimento do trem em repouso é de 200 metros.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou usar como interpretação natural que “70velocidade da luz” significa sessenta e dez por cento da velocidade da luz, ou seja v=0{,}70c; não perguntei nada pois devo resolver com a informação mais óbvia):
  • Comprimento próprio (comprimento do trem em repouso): L_0=200\\ \text{m}.
  • Velocidade do trem em relação à plataforma: v=0{,}70c.
  • Pergunta: qual é o comprimento do trem medido por uma pessoa parada na plataforma? Ou seja, encontrar L (o comprimento medido pela observadora na plataforma).

Passo 2

Conceito necessário (explicação didática e pas a pas): contração de Lorentz (ou contração de comprimento).
  • Em relatividade restrita, o comprimento de um objeto em movimento medido por um observador que o vê passando é menor que o comprimento do objeto em seu próprio referencial (repouso). Esse efeito chama-se contração de comprimento.
  • A fórmula que relaciona o comprimento medido no referencial em que o objeto está em movimento L com o comprimento próprio L_0 é:
L = \frac{L_0}{\gamma},
onde \gamma é o fator de Lorentz, definido por
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}}}.
  • O que cada símbolo significa:
    • L_0: comprimento do objeto no referencial em que ele está em repouso (aqui, o comprimento do trem quando medido no trem).
    • L: comprimento do objeto medido por um observador que vê o objeto se movendo com velocidade v (a pessoa na plataforma).
    • v: velocidade relativa entre o observador e o objeto.
    • c: velocidade da luz no vácuo.
    • \gamma: fator que cresce quando v se aproxima de c; quanto maior \gamma, maior a contração (pois L fica menor).
  • Intuição simples: o observador na plataforma precisa marcar as posições da frente e da traseira do trem “ao mesmo tempo” no seu relógio. Essa simultaneidade é diferente no referencial do trem, e isso leva ao comprimento medido ser menor.

Passo 3

Calcular o fator de Lorentz \gamma para v=0{,}70c.
  • Primeiro calcule o quadrado da razão v/c: \left(\dfrac{v}{c}\right)^2 = (0{,}70)^2 = 0{,}49.
  • Então
1 - \dfrac{v^2}{c^2} = 1 - 0{,}49 = 0{,}51.
  • Agora a raiz quadrada:
\sqrt{1 - \dfrac{v^2}{c^2}} = \sqrt{0{,}51}.
  • Portanto
\gamma = \frac{1}{\sqrt{0{,}51}} \approx 1{,}400280084.
(este valor é o fator de Lorentz correspondente a v=0{,}70c.)

Passo 4

Aplicar a fórmula da contração de comprimento:
L = \frac{L_0}{\gamma}.
Substituindo L_0=200\\ \text{m} e o \gamma calculado:
L = \frac{200}{1{,}400280084}\\ \text{m}.

Passo 5

Fazer a divisão (contas passo a passo):
  • Primeiro observar que 1/\gamma=\sqrt{1 - v^2/c^2}=\sqrt{0{,}51}.
  • Calcular \sqrt{0{,}51}\approx 0{,}714142843.
  • Multiplicar por 200:
L = 200\cdot 0{,}714142843 \approx 142{,}8285686\\ \text{m}.
  • Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) obtemos
L \approx 142{,}83\\ \text{m}.

Passo 6

Interpretação final curta e incentivo:
  • Isso significa que, para a pessoa na plataforma, o trem de 200\\ \text{m} em repouso aparece reduzido para cerca de 142{,}83\\ \text{m} quando viaja a 0{,}70c.
  • Não se assuste com a contração: ela só fica grande quando v é uma fração significativa de c. Você já mandou bem só de chegar até aqui — boas vibrações para a prova!

Resposta

142{,}83\\ \text{m}

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