Qual é o comprimento de um trem viajando a uma velocidade de 70velocidade da luz para uma pessoa que está parada do lado de fora do trem, em uma plataforma de uma estação ferroviária? O comprimento do trem em repouso é de 200 metros.
Passo 1
O enunciado fornece e pede o seguinte (vou usar como interpretação natural que “70velocidade da luz” significa sessenta e dez por cento da velocidade da luz, ou seja
; não perguntei nada pois devo resolver com a informação mais óbvia):
- Comprimento próprio (comprimento do trem em repouso):
. - Velocidade do trem em relação à plataforma:
. - Pergunta: qual é o comprimento do trem medido por uma pessoa parada na plataforma? Ou seja, encontrar
(o comprimento medido pela observadora na plataforma).
Passo 2
Conceito necessário (explicação didática e pas a pas): contração de Lorentz (ou contração de comprimento).
- Em relatividade restrita, o comprimento de um objeto em movimento medido por um observador que o vê passando é menor que o comprimento do objeto em seu próprio referencial (repouso). Esse efeito chama-se contração de comprimento.
- A fórmula que relaciona o comprimento medido no referencial em que o objeto está em movimento
com o comprimento próprio é:
onde
é o fator de Lorentz, definido por
- O que cada símbolo significa:
-
: comprimento do objeto no referencial em que ele está em repouso (aqui, o comprimento do trem quando medido no trem). -
: comprimento do objeto medido por um observador que vê o objeto se movendo com velocidade (a pessoa na plataforma). -
: velocidade relativa entre o observador e o objeto. -
: velocidade da luz no vácuo. -
: fator que cresce quando se aproxima de ; quanto maior , maior a contração (pois fica menor).
-
- Intuição simples: o observador na plataforma precisa marcar as posições da frente e da traseira do trem “ao mesmo tempo” no seu relógio. Essa simultaneidade é diferente no referencial do trem, e isso leva ao comprimento medido ser menor.
Passo 3
Calcular o fator de Lorentz
para
.
- Primeiro calcule o quadrado da razão
: . - Então
- Agora a raiz quadrada:
- Portanto
(este valor é o fator de Lorentz correspondente a
.)
Passo 4
Aplicar a fórmula da contração de comprimento:
Substituindo
e o
calculado:
Passo 5
Fazer a divisão (contas passo a passo):
- Primeiro observar que
. - Calcular
. - Multiplicar por
:
- Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) obtemos
Passo 6
Interpretação final curta e incentivo:
- Isso significa que, para a pessoa na plataforma, o trem de
em repouso aparece reduzido para cerca de quando viaja a . - Não se assuste com a contração: ela só fica grande quando
é uma fração significativa de . Você já mandou bem só de chegar até aqui — boas vibrações para a prova!