Questão 01
Em um determinado instante
, medem-se a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e aceleração de um bloco preso a uma mola oscilando numa superfície sem atrito. Os valores obtidos são
e
. Sendo a massa do bloco igual a
.
(a) Calcule a constante elástica da mola.
(b) Calcule a frequência de oscilação do sistema.
(c) Se esse mesmo sistema passa a oscilar em amortecimento, com b
, qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e amplitude inicial após 10 ciclos?
(a) Calcule a constante elástica da mola.
(b) Calcule a frequência de oscilação do sistema.
(c) Se esse mesmo sistema passa a oscilar em amortecimento, com b
Passo 1
O enunciado dá, num instante
, as seguintes medições para um bloco preso a uma mola (posição medida a partir do equilíbrio, sem atrito na superfície):
e a massa do bloco é
As perguntas são:
(a) Calcular a constante elástica da mola .
(b) Calcular a frequência de oscilação do sistema.
(c) Se o sistema passa a oscilar com amortecimento com , qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 10 ciclos?
(a) Calcular a constante elástica da mola
(b) Calcular a frequência de oscilação do sistema.
(c) Se o sistema passa a oscilar com amortecimento com
Passo 2
Primeiro converto unidades para o Sistema Internacional (SI), porque as fórmulas usam
,
,
:
Vou também usar depois
em
:
Guardo os valores dados para uso direto.
Passo 3
Para uma massa presa a uma mola sem amortecimento, a força da mola obedece a lei de Hooke
e a segunda lei de Newton dá
. Substituindo:
Dessa igualdade isolamos a constante elástica
:
Explicação curta do porquê: a aceleração instantânea aponta para o sentido da força resultante; como a mola puxa para o equilíbrio, o sinal negativo aparece e a relação acima vale em qualquer instante para um movimento harmónico simples.
Agora substituo os números (mostrando as contas passo a passo):
Portanto a constante elástica é positiva e igual a
.
Passo 4
Agora calculamos a frequência natural de oscilação. Primeiro a frequência angular natural
é dada por
Aqui cada símbolo significa:
é a frequência angular (em
),
é a constante elástica (
) e
é a massa (
).
Substituindo:
A frequência em hertz
(número de ciclos por segundo) relaciona-se com
por
Calculo:
Portanto a frequência de oscilação é aproximadamente
.
Passo 5
Agora a parte com amortecimento. O modelo padrão linear é
onde
é o coeficiente de amortecimento (em
). Para o regime subamortecido (o mais comum em molas), a amplitude das oscilações decai exponencialmente com o tempo segundo:
onde
Aqui
tem unidades de
e representa a taxa de decaimento exponencial do envelope da amplitude. Esse resultado vem da solução da equação diferencial: a parte exponencial é
multiplicando uma oscilação senoidal de frequência reduzida
.
Passo 6
Calculo
com os valores convertidos:
Verifico que o sistema é subamortecido: comparo
com
;
logo estamos claramente no regime subamortecido e a fórmula exponencial para amplitude vale (além de existir uma frequência angular amortecida
ligeiramente menor que
).
Passo 7
Para achar a razão após
ciclos preciso do tempo correspondente a 10 ciclos. O período da oscilação amortecida é
com
Calculo
:
Note que
difere muito pouco de
porque
é muito pequeno.
Agora o período:
O tempo de 10 ciclos é
Passo 8
A razão entre a amplitude amortecida após
ciclos e a amplitude inicial é
Substituo os valores:
Interpretação: após 10 ciclos a amplitude é cerca de
da amplitude inicial — uma redução de aproximadamente
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)