Questão 01

Em um determinado instante t, medem-se a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e aceleração de um bloco preso a uma mola oscilando numa superfície sem atrito. Os valores obtidos são x=-0,20 m, v=20,0 m / s e a=150 m / s^{2}. Sendo a massa do bloco igual a 500 g.
(a) Calcule a constante elástica da mola.
(b) Calcule a frequência de oscilação do sistema.
(c) Se esse mesmo sistema passa a oscilar em amortecimento, com b =85 \mathrm{~g} / \mathrm{s}, qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e amplitude inicial após 10 ciclos?

Passo 1

O enunciado dá, num instante t, as seguintes medições para um bloco preso a uma mola (posição medida a partir do equilíbrio, sem atrito na superfície):
x = -0,20\\ \mathrm{m},
v = 20,0\\ \mathrm{m/s},
a = 150\\ \mathrm{m/s^{2}},
e a massa do bloco é
m = 500\\ \mathrm{g}.
As perguntas são:
(a) Calcular a constante elástica da mola k.
(b) Calcular a frequência de oscilação do sistema.
(c) Se o sistema passa a oscilar com amortecimento com b = 85\\ \mathrm{g/s}, qual é a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 10 ciclos?

Passo 2

Primeiro converto unidades para o Sistema Internacional (SI), porque as fórmulas usam \mathrm{kg}, \mathrm{m}, \mathrm{s}:
m = 500\\ \mathrm{g} = 0{,}500\\ \mathrm{kg}.
Vou também usar depois b em \mathrm{kg/s}:
b = 85\\ \mathrm{g/s} = 0{,}085\\ \mathrm{kg/s}.
Guardo os valores dados para uso direto.

Passo 3

Para uma massa presa a uma mola sem amortecimento, a força da mola obedece a lei de Hooke F=-kx e a segunda lei de Newton dá ma=F. Substituindo:
m a = -k x.
Dessa igualdade isolamos a constante elástica k:
k = -\frac{m a}{x}.
Explicação curta do porquê: a aceleração instantânea aponta para o sentido da força resultante; como a mola puxa para o equilíbrio, o sinal negativo aparece e a relação acima vale em qualquer instante para um movimento harmónico simples.
Agora substituo os números (mostrando as contas passo a passo):
m a = 0{,}500 \times 150 = 75{,}0\\ \mathrm{(kg\cdot m/s^{2})}.
k = -\frac{75{,}0}{-0{,}20} = \frac{75{,}0}{0{,}20} = 375\\ \mathrm{N/m}.
Portanto a constante elástica é positiva e igual a 375\\ \mathrm{N/m}.

Passo 4

Agora calculamos a frequência natural de oscilação. Primeiro a frequência angular natural \omega_{0} é dada por
\omega_{0}=\sqrt{\frac{k}{m}}.
Aqui cada símbolo significa: \omega_{0} é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}), k é a constante elástica ( \mathrm{N/m}) e m é a massa ( \mathrm{kg}).
Substituindo:
\frac{k}{m}=\frac{375}{0{,}500}=750.
\omega_{0}=\sqrt{750}\approx 27{,}386\\ \mathrm{rad/s}.
A frequência em hertz f (número de ciclos por segundo) relaciona-se com \omega_{0} por
f=\frac{\omega_{0}}{2\pi}.
Calculo:
f=\frac{27{,}386}{2\pi}\approx\frac{27{,}386}{6{,}283185}\approx 4{,}36\\ \mathrm{Hz}.
Portanto a frequência de oscilação é aproximadamente 4{,}36\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Agora a parte com amortecimento. O modelo padrão linear é
m x'' + b x' + k x = 0,
onde b é o coeficiente de amortecimento (em \mathrm{kg/s}). Para o regime subamortecido (o mais comum em molas), a amplitude das oscilações decai exponencialmente com o tempo segundo:
A(t)=A_{0}\,e^{-\gamma t},
onde
\gamma = \frac{b}{2m}.
Aqui \gamma tem unidades de \mathrm{s^{-1}} e representa a taxa de decaimento exponencial do envelope da amplitude. Esse resultado vem da solução da equação diferencial: a parte exponencial é e^{- (b/(2m)) t} multiplicando uma oscilação senoidal de frequência reduzida \omega_{d}.

Passo 6

Calculo \gamma com os valores convertidos:
\gamma=\frac{b}{2m}=\frac{0{,}085}{2\times 0{,}500}=\frac{0{,}085}{1{,}0}=0{,}085\\ \mathrm{s^{-1}}.
Verifico que o sistema é subamortecido: comparo \gamma com \omega_{0};
\gamma=0{,}085\ll \omega_{0}\approx 27{,}386,
logo estamos claramente no regime subamortecido e a fórmula exponencial para amplitude vale (além de existir uma frequência angular amortecida \omega_{d} ligeiramente menor que \omega_{0}).

Passo 7

Para achar a razão após 10 ciclos preciso do tempo correspondente a 10 ciclos. O período da oscilação amortecida é
T_{d}=\frac{2\pi}{\omega_{d}},
com
\omega_{d}=\sqrt{\omega_{0}^{2}-\gamma^{2}}.
Calculo \omega_{d}:
\omega_{d}=\sqrt{27{,}386^{2}-0{,}085^{2}}=\sqrt{750 - 0{,}007225}\approx\sqrt{749{,}992775}\approx 27{,}38595\\ \mathrm{rad/s}.
Note que \omega_{d} difere muito pouco de \omega_{0} porque \gamma é muito pequeno.
Agora o período:
T_{d}=\frac{2\pi}{27{,}38595}\approx 0{,}2295\\ \mathrm{s}.
O tempo de 10 ciclos é
t_{10}=10\,T_{d}\approx 10\times 0{,}2295 = 2{,}295\\ \mathrm{s}.

Passo 8

A razão entre a amplitude amortecida após 10 ciclos e a amplitude inicial é
\frac{A(t_{10})}{A_{0}} = e^{-\gamma t_{10}}.
Substituo os valores:
\gamma t_{10} = 0{,}085 \times 2{,}295 = 0{,}195075.
\frac{A(t_{10})}{A_{0}} = e^{-0{,}195075}\approx 0{,}823.
Interpretação: após 10 ciclos a amplitude é cerca de 82{,}3\% da amplitude inicial — uma redução de aproximadamente 17{,}7\%.

Resposta

(a) 375\\ \mathrm{N/m}
(b) 4,36\\ \mathrm{Hz}
(c) 0,823

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