Questão 01. Em 7 de julho de 2025, a Ultracargo realizou, em Paulínia (SP), o içamento de um teto geodésico de 42 m de diâmetro e 22 t sobre um tanque de 20000 \mathrm{~m}^{3}. Segundo a empresa, a cúpula foi inteiramente montada no solo antes de ser posicionada, reduzindo riscos e tempo de obra. O domo segue o desenho de um icosaedro truncado - o mesmo formato de uma bola de futebol - composto por 12 pentágonos e 20 hexágonos de alumínio, unidos por barras de liga leve que formam uma malha resistente e autoportante. Cada aresta é compartilhada exatamente por duas faces, característica que favorece a economia de material sem comprometer a rigidez da estrutura.
Questão adaptada da reportagem “Operação inédita com domo geodésico em tanque de grande porte em Paulínia (SP)”. FONTE: https://www.ultracargo.com.br/noticia/operacao-inedita-com-domo-geodesico-em-tanque-de-grande-porte-em-paulinia-sp/
Considerando o padrão descrito e aplicando a relação de Euler para poliedros convexos \mathrm{V}-\mathrm{A}+\mathrm{F}=2, determine o número de barras (arestas) necessárias para montar integralmente esse domo.
(A) 60
B 90
C 92
(D) 120
(E) 180

Passo 1

O enunciado descreve um domo com formato de icosaedro truncado, ou seja, um poliedro convexo com 12 pentágonos e 20 hexágonos. Para qualquer poliedro convexo vale a relação de Euler
V - A + F = 2
onde V é o número de vértices, A o número de arestas e F o número de faces. Nosso objetivo é encontrar A.

Passo 2

O número total de faces é
F = 12 + 20 = 32.

Passo 3

Cada pentágono contribui com 5 incidências face–vértice e cada hexágono com 6. Assim o total de incidências face–vértice é
12 \times 5 + 20 \times 6 = 180.
Como em um icosaedro truncado exatamente 3 faces se encontram em cada vértice, o número de vértices é
V = \frac{180}{3} = 60.

Passo 4

Substituindo V e F na relação de Euler e isolando A, temos
60 - A + 32 = 2
A = 60 + 32 - 2 = 90.

Resposta

90

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