Questão 01. Em 7 de julho de 2025, a Ultracargo realizou, em Paulínia (SP), o içamento de um teto geodésico de 42 m de diâmetro e 22 t sobre um tanque de
. Segundo a empresa, a cúpula foi inteiramente montada no solo antes de ser posicionada, reduzindo riscos e tempo de obra. O domo segue o desenho de um icosaedro truncado - o mesmo formato de uma bola de futebol - composto por 12 pentágonos e 20 hexágonos de alumínio, unidos por barras de liga leve que formam uma malha resistente e autoportante. Cada aresta é compartilhada exatamente por duas faces, característica que favorece a economia de material sem comprometer a rigidez da estrutura.
Questão adaptada da reportagem “Operação inédita com domo geodésico em tanque de grande porte em Paulínia (SP)”. FONTE: https://www.ultracargo.com.br/noticia/operacao-inedita-com-domo-geodesico-em-tanque-de-grande-porte-em-paulinia-sp/
Considerando o padrão descrito e aplicando a relação de Euler para poliedros convexos
, determine o número de barras (arestas) necessárias para montar integralmente esse domo.
(A) 60
B 90
C 92
(D) 120
(E) 180
Questão adaptada da reportagem “Operação inédita com domo geodésico em tanque de grande porte em Paulínia (SP)”. FONTE: https://www.ultracargo.com.br/noticia/operacao-inedita-com-domo-geodesico-em-tanque-de-grande-porte-em-paulinia-sp/
(A) 60
C 92
(D) 120
(E) 180
Passo 1
O enunciado descreve um domo com formato de icosaedro truncado, ou seja, um poliedro convexo com
pentágonos e
hexágonos. Para qualquer poliedro convexo vale a relação de Euler
onde
é o número de vértices,
o número de arestas e
o número de faces. Nosso objetivo é encontrar
.
Passo 2
O número total de faces é
Passo 3
Cada pentágono contribui com
incidências face–vértice e cada hexágono com
. Assim o total de incidências face–vértice é
Como em um icosaedro truncado exatamente
faces se encontram em cada vértice, o número de vértices é
Passo 4
Substituindo
e
na relação de Euler e isolando
, temos
Resposta
90