Questão 01 -

Uma partícula desloca-se no plano ( \mathrm{x}, \mathrm{y} ) de acordo com as equações:
\left\{\begin{array}{l} x=a \cos (\omega t) \\\ y=b \cos (\omega t+\theta) \end{array}\right.
onde a, b, \omega e \theta são constantes. Sobre o movimento são feitas as seguintes afirmativas:
I. Para \theta=\pi rad, a partícula realiza um movimento harmônico simples de amplitude A=\sqrt{a^{2}+b^{2}}, descrevendo uma trajetória retilínea.
II. Para \theta=\pi / 2 rad e a=b, a partícula realizará um movimento harmônico simples cuja trajetória é uma circunferência centrada na origem do sistema de eixos e percorrida no sentido horário.
III. Para \theta=3 \pi / 2 rad, a partícula descreverá uma trajetória elíptica centrada na origem do sistema de eixos e percorrida no sentido antihorário.
Pode-se afirmar que:
a) somente a I está correta.
b) somente a II está correta.
c) estão corretas II e III, somente.
d) estão corretas I e III, somente.
e) todas estão corretas.

Passo 1

O enunciado dá o movimento paramétrico
\begin{cases} x = a \cos(\omega t),\\\ y = b \cos(\omega t + \theta), \end{cases}
com a,b,\omega,\theta constantes, e pede para verificar as afirmações sobre o tipo de trajetória e direção do movimento para certos valores de \theta. Vamos usar álgebra de funções trigonométricas para cada caso.

Passo 2

Analisando I: para \theta = \pi rad temos
y = b \cos(\omega t + \pi) = b\bigl(-\cos(\omega t)\bigr) = -\,b\cos(\omega t).
Logo
y = -\frac{b}{a}\,x,
ou seja, a partícula se move sobre uma reta. A distância ao ponto de equilíbrio é
r(t) = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{a^2\cos^2(\omega t) + b^2\cos^2(\omega t)} = \bigl|\cos(\omega t)\bigr|\sqrt{a^2 + b^2},
de modo que o “amplitude” desse movimento unidimensional vale
A = \sqrt{a^2 + b^2}.
Portanto, I está correta.

Passo 3

Analisando II: para \theta = \tfrac{\pi}{2} e a = b temos
y = b\cos\Bigl(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\Bigr) = b\bigl(-\sin(\omega t)\bigr) = -\,a\sin(\omega t),
e
x = a\cos(\omega t).
Isso é a parametrização
(x,y) = \bigl(a\cos(\omega t),\,-a\sin(\omega t)\bigr),
que descreve uma circunferência de raio a centrada na origem. Como em t=0 temos (x,y)=(a,0) e para t>0 o ponto desce y<0, o movimento é sentido horário. Logo, II está correta.

Passo 4

Analisando III: para \theta = \tfrac{3\pi}{2} temos
y = b\cos\Bigl(\omega t + \tfrac{3\pi}{2}\Bigr) = b\sin(\omega t),
e
x = a\cos(\omega t).
Isso gera a elipse
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
centrada na origem. Em t=0, de novo (a,0), mas para t>0 fica y>0, ou seja, o movimento sobe para o quadrante I, caracterizando sentido anti-horário. Logo, III está correta.

Resposta

e) todas estão corretas.

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