Questão-01. (0,1 ponto/item). Verdadeiro (V) ou falso (F).
a) ( ) Nos extremos de uma função, a derivada é nula, ou seja, é um ponto crítico.
b) ( ) Um ponto de inflexão é o ponto do gráfico da função onde muda a concavidade.
c) ( ) Os valores críticos de uma função são pontos onde as derivadas f’ e f’" se anulam.
d) ( ) Toda função diferenciável é contínua.
e) ( ) Se f é contínua então f é diferenciável.
f) ( ) A diferenciabilidade e derivabilidade para
são conceitos equivalentes.
g) ( ) Se
então a função f tem um ponto de inflexão em
.
h) ( ) Se f"
então f tem concavidade positiva.
i) ( ) Se
e
então f admite um extremo em
.
j) ( ) Se
então
é crescente na vizinhança de
.
a) ( ) Nos extremos de uma função, a derivada é nula, ou seja, é um ponto crítico.
b) ( ) Um ponto de inflexão é o ponto do gráfico da função onde muda a concavidade.
c) ( ) Os valores críticos de uma função são pontos onde as derivadas f’ e f’" se anulam.
d) ( ) Toda função diferenciável é contínua.
e) ( ) Se f é contínua então f é diferenciável.
f) ( ) A diferenciabilidade e derivabilidade para
g) ( ) Se
h) ( ) Se f"
i) ( ) Se
j) ( ) Se
Passo 1
O enunciado pede marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cada uma das afirmações a)–j). Vou listar as 10 afirmações exatamente como estão (para que fique claro o que cada item pergunta):
a) Nos extremos de uma função, a derivada é nula, ou seja, é um ponto crítico.
b) Um ponto de inflexão é o ponto do gráfico da função onde muda a concavidade.
c) Os valores críticos de uma função são pontos onde as derivadas e
se anulam.
d) Toda função diferenciável é contínua.
e) Se é contínua então
é diferenciável.
f) A diferenciabilidade e derivabilidade para são conceitos equivalentes.
g) Se então a função
tem um ponto de inflexão em
.
h) Se então
tem concavidade positiva.
i) Se e
então
admite um extremo em
.
j) Se então
é crescente na vizinhança de
.
a) Nos extremos de uma função, a derivada é nula, ou seja, é um ponto crítico.
b) Um ponto de inflexão é o ponto do gráfico da função onde muda a concavidade.
c) Os valores críticos de uma função são pontos onde as derivadas
d) Toda função diferenciável é contínua.
e) Se
f) A diferenciabilidade e derivabilidade para
g) Se
h) Se
i) Se
j) Se
A tarefa é decidir V/F e justificar cada resposta com explicações didáticas e exemplos.
Passo 2
Item (a). Regra relevante (Teorema de Fermat): se
tem um extremo local em
e é diferenciável em
, então
. Explicação simples: num máximo ou mínimo interior a tangente ao gráfico costuma ser horizontal — isso é o que traduzimos por derivada zero. Exemplo concreto:
tem mínimo em
e
, logo
. Observação importante (para não cair em pegadinhas): isso vale para extremos interiores onde a derivada existe; extremos em extremidades do domínio podem ter derivada não nula ou não existir. Conclusão: a frase, no sentido usual (extremos interiores e diferenciabilidade), é verdadeira.
Passo 3
Item (b). Definição prática: um ponto de inflexão é um ponto do gráfico onde a concavidade muda de côncava para convexa ou vice-versa. Em termos de derivadas, muitas vezes isso corresponde a uma mudança de sinal de
ao passar pelo ponto. Exemplo clássico:
tem inflexão em
:
muda de negativo para positivo em
. Conclusão: a afirmação é verdadeira (é exatamente a definição usual de ponto de inflexão).
Passo 4
Item (c). Definição correta de valor/ponto crítico: um ponto
é crítico se
ou se
não existe em
. A afirmação dada diz que valores críticos são pontos onde tanto
quanto
se anulam — isso está errado por dois motivos: (1) não é necessário que
para ser crítico; basta
(ou
indefinida); (2) muitas vezes
sequer existe. Exemplo:
tem ponto crítico em
porque
não existe em
. Outro exemplo:
tem
e
— aí coincidem, mas não é regra. Conclusão: a afirmação é falsa.
Passo 5
Item (d). Teorema: se
é diferenciável em
então
é contínua em
. Razão curta e intuitiva: a existência do limite definidor da derivada força o limite de
para
quando
. Prova rápida (esquema): se
existe finito, então
, logo
. Portanto diferenciabilidade implica continuidade. Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 6
Item (e). A recíproca é falsa: continuidade não garante diferenciabilidade. Contraexemplo padrão e simples:
é contínua em todo lugar, mas não é diferenciável em
(as derivadas laterais são
e
). Outro tipo de exemplo: função com canto, cusp, etc. Conclusão: a afirmação é falsa.
Passo 7
Item (f). Terminologia: em português, “diferenciabilidade” e “derivabilidade” costumam ser sinônimos — ambos indicam a existência da derivada em um ponto (ou em um conjunto). Ou seja, dizer que
é diferenciável em
significa que
existe; dizer que
é derivável tem o mesmo sentido. Não é uma diferença matemática de conceito, é apenas variação de termo. Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 8
Item (g). A afirmação "se
então há inflexão em
" é uma armadilha clássica: ter segunda derivada zero é condição necessária em muitos casos, mas não suficiente. Contraexemplo simples:
tem
e assim
, porém a concavidade é positiva em torno de
(não há mudança de concavidade), logo não há inflexão em
. Para garantir inflexão a condição adequada é que
mude de sinal ao passar por
. Conclusão: a afirmação é falsa.
Passo 9
Item (h). Interpretação: se
(num intervalo) então
é côncava para cima (concavidade positiva) nesse intervalo. Raciocínio:
implica que
é estritamente crescente, então as retas tangentes vão ficando mais inclinadas à medida que
aumenta — isso é exatamente concavidade para cima. Exemplo:
tem
e forma uma tigela para cima. Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 10
Item (i). Segundo teste da derivada: se
e
(e
existe perto de
), então
tem um máximo local em
; se
tem mínimo local. Intuição:
diz que a concavidade é para baixo no ponto, então o ponto crítico é um pico. Exemplo:
tem
e
, e tem máximo em
. Observação: o teste exige que
exista (ou ao menos que haja informação suficiente), mas o enunciado dá exatamente
, então as hipóteses estão aí. Conclusão: a afirmação é verdadeira.
Passo 11
Item (j). A frase "se
Para
. No entanto, existem pontos arbitrariamente próximos de
onde
é aproximadamente
e
é ligeiramente negativo, fazendo com que
nesses pontos — ou seja, a derivada muda de sinal arbitrariamente perto de
, e a função não é monotona em qualquer vizinhança de
. Conclusão: a afirmação é falsa (é preciso pedir que
seja contínua ou que
num intervalo em torno de
para garantir monotonicidade local).]
Resposta
a) V
b) V
c) F
d) V
e) F
f) V
g) F
h) V
i) V
j) F
b) V
c) F
d) V
e) F
f) V
g) F
h) V
i) V
j) F