Questão-01. (0,1 ponto/item). Verdadeiro (V) ou falso (F).
a) ( ) Nos extremos de uma função, a derivada é nula, ou seja, é um ponto crítico.
b) ( ) Um ponto de inflexão é o ponto do gráfico da função onde muda a concavidade.
c) ( ) Os valores críticos de uma função são pontos onde as derivadas f’ e f’" se anulam.
d) ( ) Toda função diferenciável é contínua.
e) ( ) Se f é contínua então f é diferenciável.
f) ( ) A diferenciabilidade e derivabilidade para \mathrm{f}(\mathrm{x}) são conceitos equivalentes.
g) ( ) Se \mathrm{f}(\mathrm{c}) "=0 então a função f tem um ponto de inflexão em \mathrm{x}=\mathrm{c}.
h) ( ) Se f" >0 então f tem concavidade positiva.
i) ( ) Se \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{c})=0 e \mathrm{f}^{\prime \prime}(\mathrm{c})<0 então f admite um extremo em \mathrm{x}=\mathrm{c}.
j) ( ) Se \mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{c})>0 então \mathrm{f}(\mathrm{x}) é crescente na vizinhança de \mathrm{x}=\mathrm{c}.

Passo 1

O enunciado pede marcar Verdadeiro (V) ou Falso (F) para cada uma das afirmações a)–j). Vou listar as 10 afirmações exatamente como estão (para que fique claro o que cada item pergunta):
a) Nos extremos de uma função, a derivada é nula, ou seja, é um ponto crítico.
b) Um ponto de inflexão é o ponto do gráfico da função onde muda a concavidade.
c) Os valores críticos de uma função são pontos onde as derivadas f' e f'' se anulam.
d) Toda função diferenciável é contínua.
e) Se f é contínua então f é diferenciável.
f) A diferenciabilidade e derivabilidade para f(x) são conceitos equivalentes.
g) Se f''\text{(c)}=0 então a função f tem um ponto de inflexão em x=c.
h) Se f''>0 então f tem concavidade positiva.
i) Se f'\text{(c)}=0 e f''\text{(c)}<0 então f admite um extremo em x=c.
j) Se f'\text{(c)}>0 então f(x) é crescente na vizinhança de x=c.
A tarefa é decidir V/F e justificar cada resposta com explicações didáticas e exemplos.

Passo 2

Item (a). Regra relevante (Teorema de Fermat): se f tem um extremo local em c e é diferenciável em c, então f'\text{(c)}=0. Explicação simples: num máximo ou mínimo interior a tangente ao gráfico costuma ser horizontal — isso é o que traduzimos por derivada zero. Exemplo concreto: f(x)=x^2 tem mínimo em x=0 e f'(x)=2x, logo f'(0)=0. Observação importante (para não cair em pegadinhas): isso vale para extremos interiores onde a derivada existe; extremos em extremidades do domínio podem ter derivada não nula ou não existir. Conclusão: a frase, no sentido usual (extremos interiores e diferenciabilidade), é verdadeira.

Passo 3

Item (b). Definição prática: um ponto de inflexão é um ponto do gráfico onde a concavidade muda de côncava para convexa ou vice-versa. Em termos de derivadas, muitas vezes isso corresponde a uma mudança de sinal de f''(x) ao passar pelo ponto. Exemplo clássico: f(x)=x^3 tem inflexão em x=0: f''(x)=6x muda de negativo para positivo em 0. Conclusão: a afirmação é verdadeira (é exatamente a definição usual de ponto de inflexão).

Passo 4

Item (c). Definição correta de valor/ponto crítico: um ponto c é crítico se f'\text{(c)}=0 ou se f' não existe em c. A afirmação dada diz que valores críticos são pontos onde tanto f' quanto f'' se anulam — isso está errado por dois motivos: (1) não é necessário que f''\text{(c)}=0 para ser crítico; basta f'\text{(c)}=0 (ou f' indefinida); (2) muitas vezes f''\text{(c)} sequer existe. Exemplo: f(x)=|x| tem ponto crítico em 0 porque f' não existe em 0. Outro exemplo: f(x)=x^3 tem f'(0)=0 e f''(0)=0 — aí coincidem, mas não é regra. Conclusão: a afirmação é falsa.

Passo 5

Item (d). Teorema: se f é diferenciável em c então f é contínua em c. Razão curta e intuitiva: a existência do limite definidor da derivada força o limite de f(x) para f\text{(c)} quando x\to c. Prova rápida (esquema): se f'\text{(c)}=\lim_{x\to c}\dfrac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c} existe finito, então \lim_{x\to c}(f(x)-f\text{(c)}) = \lim_{x\to c}(x-c)\cdot\frac{f(x)-f\text{(c)}}{x-c}=0, logo f(x)\to f\text{(c)}. Portanto diferenciabilidade implica continuidade. Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 6

Item (e). A recíproca é falsa: continuidade não garante diferenciabilidade. Contraexemplo padrão e simples: f(x)=|x| é contínua em todo lugar, mas não é diferenciável em x=0 (as derivadas laterais são -1 e +1). Outro tipo de exemplo: função com canto, cusp, etc. Conclusão: a afirmação é falsa.

Passo 7

Item (f). Terminologia: em português, “diferenciabilidade” e “derivabilidade” costumam ser sinônimos — ambos indicam a existência da derivada em um ponto (ou em um conjunto). Ou seja, dizer que f é diferenciável em c significa que f'\text{(c)} existe; dizer que f é derivável tem o mesmo sentido. Não é uma diferença matemática de conceito, é apenas variação de termo. Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 8

Item (g). A afirmação "se f''\text{(c)}=0 então há inflexão em c" é uma armadilha clássica: ter segunda derivada zero é condição necessária em muitos casos, mas não suficiente. Contraexemplo simples: f(x)=x^4 tem f''(x)=12x^2 e assim f''(0)=0, porém a concavidade é positiva em torno de 0 (não há mudança de concavidade), logo não há inflexão em 0. Para garantir inflexão a condição adequada é que f'' mude de sinal ao passar por c. Conclusão: a afirmação é falsa.

Passo 9

Item (h). Interpretação: se f''(x)>0 (num intervalo) então f é côncava para cima (concavidade positiva) nesse intervalo. Raciocínio: f''>0 implica que f' é estritamente crescente, então as retas tangentes vão ficando mais inclinadas à medida que x aumenta — isso é exatamente concavidade para cima. Exemplo: f(x)=x^2 tem f''(x)=2>0 e forma uma tigela para cima. Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 10

Item (i). Segundo teste da derivada: se f'\text{(c)}=0 e f''\text{(c)}<0 (e f'' existe perto de c), então f tem um máximo local em c; se f''\text{(c)}>0 tem mínimo local. Intuição: f''\text{(c)}<0 diz que a concavidade é para baixo no ponto, então o ponto crítico é um pico. Exemplo: f(x)=-x^2 tem f'(0)=0 e f''(0)=-2<0, e tem máximo em 0. Observação: o teste exige que f''\text{(c)} exista (ou ao menos que haja informação suficiente), mas o enunciado dá exatamente f''\text{(c)}<0, então as hipóteses estão aí. Conclusão: a afirmação é verdadeira.

Passo 11

Item (j). A frase "se f'\text{(c)}>0\) então \(f\) é crescente na vizinhança de \(c\)" é falsa em geral sem hipóteses extras. Explicação: saber só o valor da derivada num ponto não garante comportamento em toda uma vizinhança próxima; precisa-se de alguma continuidade da derivada ou de positividade da derivada em um intervalo ao redor. Contraexemplo concreto (clássico de funções oscilantes): defina \[f(x)=\begin{cases} x + x^{2}\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right), & x\neq 0,\\[4pt] 0, & x=0. \end{cases}
Para x\neq 0\] tem-se \[f'(x)=1+2x\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)-\cos\!\left(\tfrac{1}{x}\right),\] e pelo limite diferencial \[f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\left(1+x\sin\!\left(\tfrac{1}{x}\right)\right)=1,\] portanto \(f'(0)=1>0. No entanto, existem pontos arbitrariamente próximos de 0 onde \cos(1/x) é aproximadamente 1 e 2x\sin(1/x) é ligeiramente negativo, fazendo com que f'(x)<0 nesses pontos — ou seja, a derivada muda de sinal arbitrariamente perto de 0, e a função não é monotona em qualquer vizinhança de 0. Conclusão: a afirmação é falsa (é preciso pedir que f' seja contínua ou que f'(x)>0 num intervalo em torno de c para garantir monotonicidade local).]

Resposta

a) V
b) V
c) F
d) V
e) F
f) V
g) F
h) V
i) V
j) F

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