Questão 2. Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
\frac{d y}{d t} t+5 y=0, \quad y(1)=3

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
t\frac{dy}{dt}+5y=0,\qquad y(1)=3.
O que é pedido:
  • Encontrar a solução y(t) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
  • Determinar o maior intervalo em que essa solução está definida (o intervalo maximal que contém o ponto t=1).

Passo 2

Primeiro, observe que a equação está escrita multiplicada por t. Para manipular a equação divido por t (logo preciso de t\neq 0) e escrevo na forma padrão:
\frac{dy}{dt}+\frac{5}{t}y=0,\qquad t\neq 0.
Explicação didática: essa é uma equação diferencial de primeira ordem. Duas abordagens simples aqui são (i) reconhecer que é separável ou (ii) usar fator integrante. Vou usar a separação de variáveis porque é direta: posso isolar y de um lado e t do outro.

Passo 3

Reescrevo a equação isolando a derivada:
\frac{dy}{dt}=-\frac{5}{t}y.
Agora separo as variáveis colocando os termos em y de um lado e os de t do outro:
\frac{1}{y}\,dy=-\frac{5}{t}\,dt.
Explicação didática: separar variáveis significa escrever algo da forma g(y)\,dy = h(t)\,dt para poder integrar ambos os lados diretamente.

Passo 4

Integro ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int -\frac{5}{t}\,dt.
As integrais dão:
\ln|y| = -5\ln|t| + C,
onde C é a constante de integração. Explicação dos passos de integração: \int \frac{1}{y}\,dy = \ln|y| + C_1 e \int \frac{1}{t}\,dt = \ln|t| + C_2; ao combinar constantes obtemos uma única constante C.

Passo 5

Isolo y exponenciando ambos os lados:
\ln|y| = -5\ln|t| + C \quad\Longrightarrow\quad |y| = e^{C}|t|^{-5}.
Posso escrever e^{C} como uma nova constante positiva A>0 e absorver o sinal em uma constante real C_1. Assim a solução geral fica
y(t)=C_1 t^{-5},
com C_1 constante real e válida para t\neq 0. Explicação: a presença de |t| e |y| aparece porque integramos \frac{1}{y} e \frac{1}{t}; porém absorvendo sinais em C_1 temos a forma simples C_1 t^{-5}.

Passo 6

Agora uso a condição inicial y(1)=3. Substituindo t=1 na fórmula geral:
3 = C_1\cdot 1^{-5} = C_1.
Logo C_1=3 e a solução particular que satisfaz a condição inicial é
y(t)=3t^{-5}=\frac{3}{t^{5}}.

Passo 7

Análise do domínio (maior intervalo onde a solução com essa condição inicial está definida):
  • Durante a resolução foi necessário dividir por t e usar \ln|t|, portanto o ponto t=0 é singular e a solução não pode ser estendida de forma contínua por t=0.
  • A condição inicial está em t=1>0, então o maior intervalo aberto contendo 1 e onde a solução é válida é (0,\infty).
    Explicação intuitiva: soluções de equações com coeficientes que explodem em t=0 normalmente têm intervalos máximos separados por esse ponto singular; como começamos em t=1 (lado positivo), seguimos para todo t>0.

Passo 8

Verificação rápida (substituição na EDO) para conferir:
\frac{dy}{dt} = 3\cdot(-5)t^{-6} = -15t^{-6}.
Então
t\frac{dy}{dt}+5y = t\cdot(-15t^{-6}) + 5\cdot(3t^{-5}) = -15t^{-5}+15t^{-5}=0,
confirma que a solução encontrada satisfaz a equação.

Resposta

y(t)=\dfrac{3}{t^{5}}
Domínio máximo contendo t=1: (0,\infty)

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