Questão 2. Ache a solução do PVI dado. Dê o maior intervalo sobre o qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
O que é pedido:
- Encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial. - Determinar o maior intervalo em que essa solução está definida (o intervalo maximal que contém o ponto
).
Passo 2
Primeiro, observe que a equação está escrita multiplicada por
. Para manipular a equação divido por
(logo preciso de
) e escrevo na forma padrão:
Explicação didática: essa é uma equação diferencial de primeira ordem. Duas abordagens simples aqui são (i) reconhecer que é separável ou (ii) usar fator integrante. Vou usar a separação de variáveis porque é direta: posso isolar
de um lado e
do outro.
Passo 3
Reescrevo a equação isolando a derivada:
Agora separo as variáveis colocando os termos em
de um lado e os de
do outro:
Explicação didática: separar variáveis significa escrever algo da forma
para poder integrar ambos os lados diretamente.
Passo 4
Integro ambos os lados:
As integrais dão:
onde
é a constante de integração. Explicação dos passos de integração:
e
; ao combinar constantes obtemos uma única constante
.
Passo 5
Isolo
exponenciando ambos os lados:
Posso escrever
como uma nova constante positiva
e absorver o sinal em uma constante real
. Assim a solução geral fica
com
constante real e válida para
. Explicação: a presença de
e
aparece porque integramos
e
; porém absorvendo sinais em
temos a forma simples
.
Passo 6
Agora uso a condição inicial
. Substituindo
na fórmula geral:
Logo
e a solução particular que satisfaz a condição inicial é
Passo 7
Análise do domínio (maior intervalo onde a solução com essa condição inicial está definida):
- Durante a resolução foi necessário dividir por
e usar , portanto o ponto é singular e a solução não pode ser estendida de forma contínua por . - A condição inicial está em
, então o maior intervalo aberto contendo e onde a solução é válida é .
Explicação intuitiva: soluções de equações com coeficientes que explodem emnormalmente têm intervalos máximos separados por esse ponto singular; como começamos em (lado positivo), seguimos para todo .
Passo 8
Verificação rápida (substituição na EDO) para conferir:
Então
confirma que a solução encontrada satisfaz a equação.
Resposta
Domínio máximo contendo