Questão 01. (1,5 pontos cada questão) Calcule a derivada de \boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) e a integral abaixo:
f(x)=\ln \left(x^{2} e^{x^{2}+1}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a derivada de f(x) e calcular a integral (primitiva) de f(x). A função dada é
f(x)=\ln\!\bigl(x^{2} e^{x^{2}+1}\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão dentro do log é x^{2} e^{x^{2}+1}.
  • Observação sobre domínio: como aparece \ln(x^{2}) depois da simplificação (veja passos seguintes), estamos restritos a x\neq 0 (o log natural de zero não está definido).
    A partir daqui vamos primeiro simplificar a função, depois calcular a derivada e, em seguida, a integral.

Passo 2

Simplificamos a função usando propriedades do logaritmo. Lembrando que \ln(ab)=\ln a+\ln b e \ln\bigl(e^{g(x)}\bigr)=g(x), aplicamos isso em
f(x)=\ln\!\bigl(x^{2} e^{x^{2}+1}\bigr).
Separando os termos do log:
f(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr)+\ln\bigl(e^{x^{2}+1}\bigr).
Usando \ln(e^{x^{2}+1})=x^{2}+1, obtemos
f(x)=\ln\bigl(x^{2}\bigr)+x^{2}+1.
Também é útil escrever \ln(x^{2})=2\ln|x|, lembrando o valor absoluto para controlar sinais quando necessário.

Passo 3

Vamos calcular a derivada passo a passo.
Ferramentas que usaremos:
  • Regra da cadeia para \dfrac{d}{dx}\ln(u(x)) = \dfrac{u'(x)}{u(x)}.
  • Derivada de x^{2} é 2x.
  • Derivada de constante é 0.
Aplicando na forma simplificada f(x)=\ln(x^{2})+x^{2}+1:
Derivada de \ln(x^{2}):
\frac{d}{dx}\ln(x^{2})=\frac{(x^{2})'}{x^{2}}=\frac{2x}{x^{2}}=\frac{2}{x},
válido para x\neq 0.
Derivada de x^{2}+1 é 2x+0=2x.
Somando:
f'(x)=\frac{2}{x}+2x.
Podemos fatorar 2 se quisermos:
f'(x)=2\!\left(\frac{1}{x}+x\right).

Passo 4

Agora a integral (primitiva) \displaystyle\int f(x)\,dx. Usamos a forma simplificada
f(x)=\ln(x^{2})+x^{2}+1=2\ln|x|+x^{2}+1.
Logo
\int f(x)\,dx=\int 2\ln|x|\,dx+\int x^{2}\,dx+\int 1\,dx.
Calculamos termo a termo.
  1. Integral de 2\ln|x|: escrevemos 2\int \ln|x|\,dx. Para \int \ln|x|\,dx usamos integração por partes: escolha u=\ln|x| e dv=dx. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx e v=x. Pela fórmula \int u\,dv = uv-\int v\,du,
\int \ln|x|\,dx = x\ln|x| - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln|x| - \int 1\,dx = x\ln|x| - x + C.
Multiplicando por 2:
2\int \ln|x|\,dx = 2x\ln|x| - 2x + C_1.
  1. Integral de x^{2}:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3} + C_2.
  1. Integral de 1:
\int 1\,dx = x + C_3.
Somando os três resultados (absorvendo constantes em uma constante única C):
\int f(x)\,dx = \bigl(2x\ln|x|-2x\bigr) + \frac{x^{3}}{3} + x + C.
Agrupando termos em x:
\int f(x)\,dx = 2x\ln|x| - x + \frac{x^{3}}{3} + C.

Passo 5

Verificação rápida (opcional mas útil): derivando a primitiva encontrada devemos recuperar f(x).
Se F(x)=2x\ln|x|-x+\dfrac{x^{3}}{3}, então
F'(x)=2\bigl(\ln|x|+1\bigr)-1+x^{2}=2\ln|x|+1+x^{2}.
Como 2\ln|x|=\ln(x^{2}), temos F'(x)=\ln(x^{2})+x^{2}+1=f(x). Verificou-se que está correto (para x\neq 0).

Resposta

f'(x)=\dfrac{2}{x}+2x
\displaystyle \int f(x)\,dx=2x\ln|x| - x + \dfrac{x^{3}}{3} + C

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