Questão 01. (1,5 pontos cada questão) Calcule a derivada de
e a integral abaixo:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: calcular a derivada de
e calcular a integral (primitiva) de
. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão dentro do log é
. - Observação sobre domínio: como aparece
depois da simplificação (veja passos seguintes), estamos restritos a (o log natural de zero não está definido).
A partir daqui vamos primeiro simplificar a função, depois calcular a derivada e, em seguida, a integral.
Passo 2
Simplificamos a função usando propriedades do logaritmo. Lembrando que
e
, aplicamos isso em
Separando os termos do log:
Usando
, obtemos
Também é útil escrever
, lembrando o valor absoluto para controlar sinais quando necessário.
Passo 3
Vamos calcular a derivada passo a passo.
Ferramentas que usaremos:
- Regra da cadeia para
. - Derivada de
é . - Derivada de constante é
.
Aplicando na forma simplificada
:
Derivada de
:
válido para
.
Derivada de
é
.
Somando:
Podemos fatorar
se quisermos:
Passo 4
Agora a integral (primitiva)
. Usamos a forma simplificada
Logo
Calculamos termo a termo.
- Integral de
: escrevemos . Para usamos integração por partes: escolha e . Então e . Pela fórmula ,
Multiplicando por
:
- Integral de
:
- Integral de
:
Somando os três resultados (absorvendo constantes em uma constante única
):
Agrupando termos em
:
Passo 5
Verificação rápida (opcional mas útil): derivando a primitiva encontrada devemos recuperar
.
Se , então
Se
Como
, temos
. Verificou-se que está correto (para
).