Prove que as funções dadas não são diferenciáveis:
Passo 1
O enunciado pede para “provar que as funções dadas não são diferenciáveis” e dá a função
Informações relevantes fornecidas:
- A função é
dada por . - A tarefa solicitada é demonstrar que essa função “não é diferenciável” (essa é a afirmação que o enunciado quer que provemos).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar com calma o que significa dizer que uma função
é diferenciável em um ponto
. Vou explicar passo a passo e sem jargões estranhos.
Definição (em palavras):
é diferenciável em
se existe uma aproximação linear (uma função linear em
) que aproxima
tão bem que o erro é muito menor que o comprimento do vetor
quando
.
Em fórmulas:
é diferenciável em
se existe um mapa linear
tal que
onde o resto
satisfaz
Essa raiz quadrada
é a norma do vetor
; é a medida do “tamanho” do incremento.
Observação prática: quando
é diferenciável, o mapa linear
é dado pelos derivados parciais no ponto:
Então, para provar diferenciabilidade, uma estratégia direta é: (1) calcular as derivadas parciais, (2) propor
com elas, (3) expandir
e mostrar que o resto dividido por
tende a
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
de forma explícita e bem clara.
A derivada parcial em relação a
é a derivada considerando
fixo:
Calculemos:
Dividindo por
e passando ao limite:
Analogamente, a derivada parcial em relação a
é
e
logo
Portanto, para qualquer ponto
temos
Passo 4
Com as derivadas parciais, propomos o candidato a mapa linear
que deve aproximar
em
:
Agora vamos expandir exatamente
e separar a parte linear da parte resto, para aplicar a definição.
Expandindo:
Agrupando:
Note que
e
. Assim o resto é exatamente
Passo 5
Agora precisamos verificar a condição do resto:
Para simplificar, defina
(observe que
e
quando
). Então
e
Como
quando
, temos
Isso mostra que o erro
é de ordem muito menor que a norma
— exatamente o que exige a definição de diferenciabilidade.
Passo 6
Concluímos, portanto, que para qualquer ponto
existe o mapa linear
que satisfaz a condição de diferenciabilidade com resto que satisfaz
Logo
é diferenciável em todo
.
Observação final mais intuitiva:
é um polinômio em
e
; polinômios são “suaves”—suas derivadas parciais existem e são contínuas — e isso já garante diferenciabilidade (mas aqui fizemos a conta direta e elementar, sem usar o teorema geral).
Resposta
A função
é diferenciável em todo
; portanto a afirmação de que ela “não é diferenciável” é falsa.