Prove que as funções dadas não são diferenciáveis:
f(x, y)=x^{2}+y^{2}

Passo 1

O enunciado pede para “provar que as funções dadas não são diferenciáveis” e dá a função
f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
Informações relevantes fornecidas:
  1. A função é f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} dada por f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  2. A tarefa solicitada é demonstrar que essa função “não é diferenciável” (essa é a afirmação que o enunciado quer que provemos).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar com calma o que significa dizer que uma função f:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} é diferenciável em um ponto (a,b). Vou explicar passo a passo e sem jargões estranhos.
Definição (em palavras): f é diferenciável em (a,b) se existe uma aproximação linear (uma função linear em (h,k)) que aproxima f(a+h,b+k) tão bem que o erro é muito menor que o comprimento do vetor (h,k) quando (h,k)\to(0,0).
Em fórmulas: f é diferenciável em (a,b) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R} tal que
f(a+h,b+k)=f(a,b)+L(h,k)+r(h,k),
onde o resto r(h,k) satisfaz
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{r(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Essa raiz quadrada \sqrt{h^{2}+k^{2}} é a norma do vetor (h,k); é a medida do “tamanho” do incremento.
Observação prática: quando f é diferenciável, o mapa linear L é dado pelos derivados parciais no ponto:
L(h,k)=\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)\,h+\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,k.
Então, para provar diferenciabilidade, uma estratégia direta é: (1) calcular as derivadas parciais, (2) propor L com elas, (3) expandir f(a+h,b+k) e mostrar que o resto dividido por \sqrt{h^{2}+k^{2}} tende a 0.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de f(x,y)=x^{2}+y^{2} de forma explícita e bem clara.
A derivada parcial em relação a x é a derivada considerando y fixo:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Calculemos:
f(x+h,y)-f(x,y)=(x+h)^{2}+y^{2}-(x^{2}+y^{2})=2xh+h^{2}.
Dividindo por h e passando ao limite:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to0}\frac{2xh+h^{2}}{h}=2x.
Analogamente, a derivada parcial em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=\lim_{k\to 0}\frac{f(x,y+k)-f(x,y)}{k},
e
f(x,y+k)-f(x,y)=x^{2}+(y+k)^{2}-(x^{2}+y^{2})=2yk+k^{2},
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\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y.
Portanto, para qualquer ponto (a,b) temos
\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=2a,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=2b.

Passo 4

Com as derivadas parciais, propomos o candidato a mapa linear L que deve aproximar f em (a,b):
L(h,k)=2a\,h+2b\,k.
Agora vamos expandir exatamente f(a+h,b+k) e separar a parte linear da parte resto, para aplicar a definição.
Expandindo:
f(a+h,b+k)=(a+h)^{2}+(b+k)^{2}=a^{2}+2a h+h^{2}+b^{2}+2b k+k^{2}.
Agrupando:
f(a+h,b+k)=\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr)+\bigl(2a h+2b k\bigr)+\bigl(h^{2}+k^{2}\bigr).
Note que \bigl(a^{2}+b^{2}\bigr)=f(a,b) e \bigl(2a h+2b k\bigr)=L(h,k). Assim o resto é exatamente
r(h,k)=h^{2}+k^{2}.

Passo 5

Agora precisamos verificar a condição do resto:
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{r(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{h^{2}+k^{2}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}.
Para simplificar, defina r:=\sqrt{h^{2}+k^{2}} (observe que r\ge 0 e r\to 0 quando (h,k)\to(0,0)). Então
h^{2}+k^{2}=r^{2}
e
\frac{h^{2}+k^{2}}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=\frac{r^{2}}{r}=r.
Como r\to 0 quando (h,k)\to(0,0), temos
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{r(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Isso mostra que o erro r(h,k) é de ordem muito menor que a norma \sqrt{h^{2}+k^{2}} — exatamente o que exige a definição de diferenciabilidade.

Passo 6

Concluímos, portanto, que para qualquer ponto (a,b) existe o mapa linear L(h,k)=2a h+2b k que satisfaz a condição de diferenciabilidade com resto que satisfaz
\lim_{(h,k)\to(0,0)}\frac{r(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}=0.
Logo f é diferenciável em todo (a,b)\in\mathbb{R}^{2}.
Observação final mais intuitiva: f é um polinômio em x e y; polinômios são “suaves”—suas derivadas parciais existem e são contínuas — e isso já garante diferenciabilidade (mas aqui fizemos a conta direta e elementar, sem usar o teorema geral).

Resposta

A função \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}\; é diferenciável em todo \mathbb{R}^{2}; portanto a afirmação de que ela “não é diferenciável” é falsa.

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