Questão 01 ( 3,6 pontos) - Uma pastilha semiesférica de naftaleno, em repouso sobre uma superficie plana, sublima por difusão molecular através do ar estagnado que a envolve. Inicialmente, a pastilha tem raio R. À medida que o naftaleno sublima lentamente, o diâmetro da pastilha diminui com o tempo, mas o fluxo de vapor de naftaleno no ar ao redor pode ser considerado nominalmente em regime estacionário. As temperaturas da pastilha e do ar estagnado mantêm-se constantes. O ar não contém vapor de naftaleno em uma distância infinitamente longa da superficie da pastilha.
a) Após desenhar uma figura do processo físico, selecione um sistema de coordenadas que melhor descreva esse processo de difusão, liste as suposições adequadas, e simplifique a Equação diferencial geral para a transferência de massa em termos do fluxo.
b) Especifique a forma diferencial simplificada da equação de Fick para o fluxo de transferência de naftaleno (espécie A).
c) Proponha as condições de contorno apropriadas.
Passo 1
O enunciado dá uma pastilha semiesférica de naftaleno (meia esfera) de raio R apoiada sobre uma superfície plana; o naftaleno sublima por difusão molecular no ar estagnado ao redor. As temperaturas são constantes e o ar está livre de naftaleno a uma distância muito grande da pastilha. Pede-se:
(a) desenhar/modelar o processo escolhendo um sistema de coordenadas adequado, listar suposições apropriadas e simplificar a equação diferencial geral de transferência de massa em termos do fluxo;
(b) escrever a forma diferencial simplificada da lei de Fick para o fluxo da espécie A (naftaleno);
(c) propor condições de contorno apropriadas.
Informações relevantes (tiradas do enunciado):
Geometria: semiesfera (raio R) apoiada num plano;
Meio: ar estagnado (sem escoamento convectivo);
Processo: difusão molecular em regime nominalmente estacionário;
Temperatura constante (logo propriedades constantes em aproximação usual);
Concentracão de naftaleno no infinito é zero.
Passo 2
Escolha de coordenadas e figura mental.
Para problemas de difusão ao redor de corpos arredondados a escolha natural é o sistema de coordenadas esféricas centrado no centro da semiesfera. Definir coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi) com r medindo distância ao centro da semiesfera, \theta o ângulo polar medido a partir do eixo vertical (normal ao plano) e \varphi o ângulo azimutal.
Observação sobre simetria: a semiesfera apoiada em um plano tem simetria axial (em \varphi) e, por reflexão (método das imagens), pode-se imaginar a semiesfera mais sua imagem refletida no plano formando uma esfera completa de raio R. Assim, para o campo de concentração acima do plano pode-se usar a solução do problema da esfera completa e tomar só a metade superior — isso justifica a dependência puramente radial (dependência em r somente) quando a superfície da semiesfera é mantida a concentração constante. Isso simplifica muito a modelagem porque reduz a dependência angular.
Figura mental: centro da semiesfera na origem; a superfície da semiesfera é r=R com 0\le\theta\le\pi/2; o plano corresponde a \theta=\pi/2.
Passo 3
Lista de suposições (cada uma explicada curtamente):
Regime estacionário: as concentrações em cada ponto do ar não mudam com o tempo porque a sublimação é lenta e o campo de vapor já atingiu estado estacionário. Matematicamente \partial C_A/\partial t=0.
Ar estagnado (sem escoamento convectivo): velocidade do ar \mathbf{v}=0, portanto transporte convectivo desprezível comparado à difusão molecular.
Isotérmico e propriedades constantes: temperatura constante implica D_{AB} aproximadamente constante.
Gás pobre em A (diluído): a presença de naftaleno no ar é pequena, permitindo o uso de difusão binária com coeficiente constante D_{AB} e uso direto de concentração molar C_A ou fração molar simples.
Sem reações químicas no ar: fonte/sumidouro volumétrico nulo.
Simetria axial e método das imagens: refletindo a semiesfera no plano forma-se uma esfera completa; se a superfície da semiesfera mantiver concentração uniforme, o problema na metade superior é equivalente à metade da solução da esfera completa — isso permite assumir dependência somente em r.
No infinito (r\to\infty) a concentração de naftaleno é zero (dado).
Passo 4
Equação geral de conservação de massa para a espécie A (forma local):
\mathbf{N}_A é o fluxo molar de A (mol m^{-2} s^{-1}), medido no referencial fixo (fluxo convectivo + difusivo, mas aqui sem convecção);
R_A é termo gerador volumétrico (mol m^{-3} s^{-1}) — aqui igual a zero porque não há reação.
Explanação: essa equação diz que a variação temporal da quantidade de A em um volume + o fluxo líquido que sai é igual à produção interna; é a equação de continuidade para a espécie.
Passo 5
Aplicando as suposições (estacionário, sem escoamento, sem reação):
Estacionário: \partial C_A/\partial t=0.
Sem geração: R_A=0.
Logo a equação simplifica para
\nabla\cdot \mathbf{N}_A = 0.
Comentário didático: isso significa que, em regime estacionário, o fluxo difusivo de A é solenoidal (não há acumulação nem consumo), ou seja, o que sai de um volume é igual ao que entra.
Passo 6
Expressar \nabla\cdot\mathbf{N}_A=0 em coordenadas esféricas com simetria radial (dependência só em r).
Para um campo puramente radial \mathbf{N}_A=N_{A,r}(r)\,\mathbf{e}_r vale a forma da divergência:
Interpretação: o fluxo radial decai como 1/r^2 em um problema esfericamente simétrico, garantindo conservação do fluxo através de superfícies esféricas concêntricas.
Passo 7
Forma diferencial da lei de Fick (Fick, primeira lei) e explicação das variáveis — é o que o item (b) pede.
Forma vetorial (diferencial) simplificada:
\mathbf{N}_A = -D_{AB}\,\nabla C_A,
onde D_{AB} é o coeficiente de difusão binária do naftaleno em ar (m^2 s^{-1}) e C_A é a concentração molar de A.
Em coordenada radial (dependendo apenas de r):
N_{A,r}(r) = -D_{AB}\,\frac{dC_A}{dr}.
Comentário: Fick diz que o fluxo pontual de A é proporcional (e em sentido oposto) ao gradiente de concentração; quanto maior o gradiente, maior o fluxo.
Passo 8
Combinar continuidade \nabla\cdot\mathbf{N}_A=0 com Fick para obter a equação diferencial para C_A.
Substituindo \mathbf{N}_A=-D_{AB}\nabla C_A em \nabla\cdot\mathbf{N}_A=0 (com D_{AB} constante) obtém-se a equação de Laplace para C_A:
Integrando de novo: C_A(r) = A + \dfrac{B}{r}, com A outra constante.
Passo 9
Aplicar condições de contorno (parte c) para determinar constantes — explicação e justificativa de cada condição:
Condição no infinito: o enunciado diz que o ar não contém naftaleno a uma distância infinita. Portanto
\text{(BC1)}\quad C_A(r\to\infty)=0.
Isso implica, pela forma C_A(r)=A+B/r, que A=0.
Condição na superfície da pastilha: a superfície da naftalena está em equilíbrio líquido-vapor; assumimos que a concentração na interface é a concentração de saturação à temperatura dada. Denotar C_{A,s} a concentração de vapor de naftaleno saturado na superfície. Então
\text{(BC2)}\quad C_A(r=R)=C_{A,s}.
Com A=0 isso dá C_A(r)=\dfrac{B}{r} e em r=R obtemos B=R\,C_{A,s}. Logo o perfil de concentração final é
C_A(r)=\frac{R\,C_{A,s}}{r}.
Condição no plano de apoio: o plano é impermeável ao vapor (não há atravessamento do plano pelo vapor). Usando a reflexão (imagem) ou diretamente, a condição de simetria/no-flux no plano é
Mas, como já justificamos com o método das imagens, usando a solução da esfera completa essa condição está satisfeita automaticamente pela solução radial acima. Em provas, vale escrever explicitamente a condição de não-fluxo no plano.
Passo 10
Determinar o fluxo na superfície e a vazão total (aplicação final útil para prova).
(Se alguém trabalhasse com a esfera completa, obteria 4\pi R D_{AB} C_{A,s} e a semiesfera é metade disso.)
Resposta
(a) Sistema de coordenadas: coordenadas esféricas centradas na pastilha (r,\theta,\varphi) com uso do método das imagens para obter simetria radial. Suposições: regime estacionário \partial C_A/\partial t=0; ar estagnado \mathbf{v}=0; isoterma e D_{AB} constante; diluição (difusão binária); sem reações; concentração nula em r\to\infty; plano impermeável (condição de simetria). Equação simplificada de conservação em termos do fluxo:
cuja solução (com BCs abaixo) é C_A(r)=\dfrac{R\,C_{A,s}}{r} e N_{A,r}(r)=D_{AB}\dfrac{R C_{A,s}}{r^2}, em particular N_{A,r}(R)=D_{AB}\dfrac{C_{A,s}}{R}.
(c) Condições de contorno apropriadas:
C_A(r=R)=C_{A,s} (concentração de saturação na superfície);
C_A(r\to\infty)=0 (ar isento de naftaleno ao infinito);
no plano de apoio: condição de não-fluxo/simetria \left.\dfrac{\partial C_A}{\partial \theta}\right|_{\theta=\pi/2}=0 (equivalente a N_\theta=0).