Questão 01 (5,0 pontos) - Em um secador de grãos, deseja-se secar soja utilizando ar aquecido.
A alimentação de grãos é de 100 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} (base úmida), com umidade 0,2 em base seca ( 20 kg de água para cada 100 kg de sólido seco).
O ar úmido entra a 60 \mathrm{~kg} / \mathrm{h} no secador com fração mássica de água igual a 6 \% e sai com fração mássica de água igual a 10 \%.
Considere regime permanente, sem arraste de sólidos na corrente gasosa e sem presença de ar na corrente de grãos de saída.
a) Faça todas as fases de organização necessárias para resolução deste balanço de massa.
b) Calcule a fração mássica de água contida no grão na entrada do secador
c) Mostre todas as equações necessárias de balanços de massa
d) Determine a umidade do grão na saída do secador.
e) Mantidas as demais condições do processo, se o grão sair com 0,05 de umidade em base seca. Qual a quantidade de ar necessária?

Passo 1

O que o enunciado pede e quais são os dados fornecidos (lista clara):
  • Perguntas do enunciado:
    a) Organizar o problema (listar dados, incógnitas, aproximações e variáveis que serão usadas).
    b) Calcular a fração mássica de água contida no grão na entrada do secador.
    c) Escrever todas as equações de balanço de massa necessárias.
    d) Determinar a umidade do grão na saída do secador.
    e) Mantidas as demais condições, calcular a quantidade de ar necessária se o grão sair com umidade 0,05 (base seca).
  • Dados fornecidos:
    • Alimentação de grãos (massa total, base úmida): 100\\ \mathrm{kg/h}.
    • Umidade do grão na alimentação, em base seca: 0,2 (ou seja, 20\\ \mathrm{kg} de água para cada 100\\ \mathrm{kg} de sólidos secos).
    • Ar de entrada: 60\\ \mathrm{kg/h} com fração mássica de água 6\% ( y_{\text{in}}=0,06).
    • Ar de saída: fração mássica de água 10\% ( y_{\text{out}}=0,10).
    • Regime: regime permanente, sem arraste de sólidos para a corrente gasosa e sem ar na corrente de grãos de saída.
  • Informação útil que vamos buscar (incógnitas principais):
    • Massa de sólidos secos nos grãos S (kg/h).
    • Massa de água nos grãos na entrada W_{g,\text{in}} e na saída W_{g,\text{out}} (kg/h).
    • Massa de ar de entrada M_{a,\text{in}} (já dada 60\\ \mathrm{kg/h}) e, quando necessário, massa de ar de entrada requerida M_{a,\text{in}}' para o item (e).
  • Observação: não resolver nada neste passo — apenas organizei os dados, incógnitas e o que se vai aplicar nos balanços.

Passo 2

Definições, conversões e entendimento das bases de umidade (aula prática):
  • Diferença entre “base seca” (db) e “base úmida” (wb, ou fração mássica sobre massa total do grão):
    • Umidade em base seca (x_{\text{db}}) é definida por
    x_{\text{db}}=\frac{W}{S},onde W é a massa de água e S é a massa de sólidos secos.
    • Fração mássica de água (base úmida, isto é, água sobre massa total do grão) (w_{\text{wb}}) é
    w_{\text{wb}}=\frac{W}{W+S}.
    • Essas duas quantidades se relacionam por
    w_{\text{wb}}=\frac{x_{\text{db}}}{1+x_{\text{db}}} \quad\text{e}\quad x_{\text{db}}=\frac{w_{\text{wb}}}{1-w_{\text{wb}}}.Explicação simples: base seca usa kg água por kg sólido; base úmida usa kg água por kg total (sólido+água).
  • Calcular a massa de sólidos secos S e a massa de água nos grãos na alimentação W_{g,\text{in}}:
    • A alimentação total de grãos 100\\ \mathrm{kg/h} é a soma S+W_{g,\text{in}}.
    • Como x_{\text{db,in}}=0,2, vale W_{g,\text{in}}=0,2\,S.
    • Logo
    S+0,2\,S=100 \quad\Rightarrow\quad 1,2\,S=100.
    • Assim
    S=\frac{100}{1,2}=83,333\\ \mathrm{kg/h}.
    • E
    W_{g,\text{in}}=0,2\cdot S=0,2\cdot83,333=16,667\\ \mathrm{kg/h}.(Arredondei a três casas decimais para ficar prático na conta de prova.)

Passo 3

Balanços de massa que se aplicam (aula sobre balanços e como montar as equações):
  • Regime permanente → massas totais e de cada espécie não mudam com o tempo no balanço global.
  • Espécies que devemos balancear:
    1. Sólidos secos dos grãos (não saem nem entram na corrente gasosa): conservação simples.
    2. Água total (na corrente de grãos + na corrente de ar): a água removida do grão vai para o ar.
    3. Ar seco (a massa de ar seco se conserva entre entrada e saída).
  • Escrever as equações gerais (essas são as que o enunciado pede no item c):
    • Balanço de sólidos secos:
    S_{\text{in}}=S_{\text{out}}.
    • Balanço total de água (grãos + ar):
    W_{g,\text{in}}+W_{a,\text{in}}=W_{g,\text{out}}+W_{a,\text{out}}.
    • Conservação de ar seco (fração não-água do ar):
    M_{a,\text{in}}\,(1-y_{\text{in}})=M_{a,\text{out}}\,(1-y_{\text{out}}).Onde:
    • W_{g,\text{in}} e W_{g,\text{out}} são massas de água nos grãos na entrada e saída (kg/h).
    • W_{a,\text{in}}=M_{a,\text{in}}\,y_{\text{in}} e W_{a,\text{out}}=M_{a,\text{out}}\,y_{\text{out}} são massas de água no ar (kg/h).
    • y_{\text{in}} e y_{\text{out}} são frações mássicas de água no ar (aqui 0,06 e 0,10).
  • Comentário didático: com essas três equações conseguimos relacionar as massas de ar M_{a,\text{in}} e M_{a,\text{out}} e as massas de água nos grãos. Em muitos problemas de secagem o que realmente se usa é o balanço de água (já que os sólidos secos são triviais de manter).

Passo 4

Aplicando os balanços ao caso numérico — calcular saídas intermédias (contas passo a passo):
  • Dados do ar de entrada e saída:
    • Ar de entrada: M_{a,\text{in}}=60\\ \mathrm{kg/h}, y_{\text{in}}=0,06.
    • Água no ar de entrada:
    W_{a,\text{in}}=M_{a,\text{in}}\,y_{\text{in}}=60\cdot0,06=3,6\\ \mathrm{kg/h}.
    • Massa de ar seco (conservada):
    A_d=M_{a,\text{in}}(1-y_{\text{in}})=60\cdot(1-0,06)=60\cdot0,94=56,4\\ \mathrm{kg/h}.
    • Pela conservação do ar seco, na saída A_d=M_{a,\text{out}}(1-y_{\text{out}}). Assim
    M_{a,\text{out}}=\frac{A_d}{1-y_{\text{out}}}=\frac{56,4}{1-0,10}=\frac{56,4}{0,90}=62,667\\ \mathrm{kg/h}.
    • Água no ar de saída:
    W_{a,\text{out}}=M_{a,\text{out}}\,y_{\text{out}}=62,667\cdot0,10=6,267\\ \mathrm{kg/h}.
  • Balanço de água (usar a equação do Passo 3): W_{g,\text{in}}+W_{a,\text{in}}=W_{g,\text{out}}+W_{a,\text{out}}.Substituindo valores conhecidos e isolando W_{g,\text{out}}: W_{g,\text{out}}=W_{g,\text{in}}+W_{a,\text{in}}-W_{a,\text{out}}.Já temos W_{g,\text{in}}=16,667\\ \mathrm{kg/h}, W_{a,\text{in}}=3,6\\ \mathrm{kg/h}, W_{a,\text{out}}=6,267\\ \mathrm{kg/h}. Então W_{g,\text{out}}=16,667+3,6-6,267=14,000\\ \mathrm{kg/h}.
  • Agora determinar a umidade do grão na saída (em base seca, que é o formato usado no enunciado): x_{\text{db,out}}=\frac{W_{g,\text{out}}}{S}=\frac{14,000}{83,333}=0,168.Interpretação: isso significa 0,168\\ \mathrm{kg} de água por kg de sólido seco, ou 16,8 kg de água para cada 100 kg de sólidos secos.
  • (Comentário extra prático) Se quiser a fração mássica sobre massa total do grão (base úmida) na saída: w_{\text{wb,out}}=\frac{x_{\text{db,out}}}{1+x_{\text{db,out}}}=\frac{0,168}{1+0,168}=0,144.Ou seja cerca de 14,4\% em base úmida.

Passo 5

Item (e): manter demais condições e calcular massa de ar necessária se o grão sair com x_{\text{db,out}}=0,05:
  • Agora a umidade alvo no grão de saída (base seca) é x_{\text{db,out}}'=0,05. Com os mesmos S=83,333\\ \mathrm{kg/h}, a água nos grãos na saída alvo é W_{g,\text{out}}'=x_{\text{db,out}}'\,S=0,05\cdot83,333=4,167\\ \mathrm{kg/h}.
  • Água a ser removida do grão em relação à alimentação: \Delta W = W_{g,\text{in}}-W_{g,\text{out}}'=16,667-4,167=12,500\\ \mathrm{kg/h}.Essa quantidade tem que ser absorvida pelo ar: W_{a,\text{out}}'-W_{a,\text{in}}=\Delta W.
  • Seja M_{a,\text{in}}' a massa de ar de entrada necessária (incógnita). Então: W_{a,\text{in}}'=M_{a,\text{in}}'\,y_{\text{in}}=M_{a,\text{in}}'\cdot0,06.A massa de ar seco é A_d'=M_{a,\text{in}}'(1-0,06)=0,94\,M_{a,\text{in}}' e se conserva; com y_{\text{out}}=0,10 vem M_{a,\text{out}}'=\frac{A_d'}{1-y_{\text{out}}}=\frac{0,94\,M_{a,\text{in}}'}{0,90}.Então água no ar de saída é W_{a,\text{out}}'=M_{a,\text{out}}'\,y_{\text{out}}=0,10\cdot\frac{0,94\,M_{a,\text{in}}'}{0,90}=0,104444\;M_{a,\text{in}}'.
  • Montando o balanço da água que resulta em \Delta W: W_{a,\text{out}}'-W_{a,\text{in}}'=\Delta W \quad\Rightarrow\quad \bigl(0,104444-0,06\bigr)M_{a,\text{in}}'=12,5.O coeficiente numérico é 0,044444. Assim M_{a,\text{in}}'=\frac{12,5}{0,044444}=281,25\\ \mathrm{kg/h}.
  • Verificação rápida (consistência das massas): com M_{a,\text{in}}'=281,25\\ \mathrm{kg/h},
    • água no ar de entrada =281,25\cdot0,06=16,875\\ \mathrm{kg/h},
    • massa de ar seco =281,25\cdot0,94=264,375\\ \mathrm{kg/h},
    • massa de ar de saída =264,375/0,90=293,75\\ \mathrm{kg/h},
    • água no ar de saída =0,10\cdot293,75=29,375\\ \mathrm{kg/h},
    • diferença de água =29,375-16,875=12,5\\ \mathrm{kg/h}=\Delta W — confere.

Resposta

a) Organização: Dados — M_{g,\text{in}}=100\\ \mathrm{kg/h}, x_{\text{db,in}}=0,2; ar: M_{a,\text{in}}=60\\ \mathrm{kg/h}, y_{\text{in}}=0,06, y_{\text{out}}=0,10. Incógnitas — S, W_{g,\text{in}}, W_{g,\text{out}}, M_{a,\text{out}}. Assunções — regime permanente, sem arraste sólido, sem ar nos grãos de saída. Equações — balanço de sólidos, balanço de água e conservação de ar seco (ver item c abaixo).
b) Fração mássica de água no grão na entrada (base úmida): 0,1667 (16,67%).
c) Equações de balanço de massa necessárias:
S_{\text{in}}=S_{\text{out}},
W_{g,\text{in}}+W_{a,\text{in}}=W_{g,\text{out}}+W_{a,\text{out}},
M_{a,\text{in}}\,(1-y_{\text{in}})=M_{a,\text{out}}\,(1-y_{\text{out}}).
d) Umidade do grão na saída (base seca): x_{\text{db,out}}=0,168 (ou seja 16{,}8\% em base seca; em base úmida correspondente w_{\text{wb,out}}=0,144).
e) Massa de ar necessária para saída com x_{\text{db,out}}=0,05: M_{a,\text{in}}'=281,25\\ \mathrm{kg/h}.

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