Calcule o potencial químico de uma solução diluída de sacarose ( \left.\begin{array}{lll}\mathrm{C} & \mathrm{H} & \mathrm{O}\end{array}\right) a 25{ }^{\circ} \mathrm{C}(298 \mathrm{~K}), com concentração \mathrm{Ci}=0,1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L}. Considere \mu \mathrm{i} 0=-1360 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}, \mathrm{R}=8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{molK}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele nos dá.
  • Pede: calcular o potencial químico de uma solução diluída de sacarose a T=298\\ \mathrm{K} com concentração C_i=0,1\\ \mathrm{mol/L}.
  • Dados fornecidos:
    • Potencial químico padrão: \mu_i^0 = -1360\\ \mathrm{kJ/mol}.
    • Constante dos gases: R = 8,314\\ \mathrm{J/(mol\;K)}.
    • Temperatura: T = 298\\ \mathrm{K}.
    • Concentração: C_i = 0,1\\ \mathrm{mol/L}.
Observação importante (assunção necessária): vai-se usar a expressão usual para soluções diluídas
\mu_i=\mu_i^0 + RT\ln a_i,
e para soluções idealmente diluídas a atividade do soluto é aproximada pela razão da concentração pela concentração padrão c^0=1\\ \mathrm{mol/L}, isto é a_i \approx \dfrac{C_i}{c^0}=\dfrac{C_i}{1\\ \mathrm{mol/L}}=C_i (quando C_i está em \mathrm{mol/L}). Vou adotar essa convenção de estado padrão c^0=1\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 2

Explicando a fórmula que vamos usar e o significado de cada termo.
A fórmula para o potencial químico de uma espécie em solução é
\mu_i=\mu_i^0 + RT\ln a_i.
  • \mu_i é o potencial químico da espécie na condição dada (o que queremos).
  • \mu_i^0 é o potencial químico padrão (no estado padrão; fornecido).
  • R é a constante dos gases ( 8,314\\ \mathrm{J/(mol\;K)}).
  • T é a temperatura absoluta em kelvin.
  • a_i é a atividade da espécie na solução (medida da “concentração efetiva” que entra na termodinâmica). Para solução diluída ideal vamos usar a_i \approx \dfrac{C_i}{c^0} com c^0=1\\ \mathrm{mol/L}.
Então, com c^0=1\\ \mathrm{mol/L},
\mu_i=\mu_i^0 + RT\ln\!\bigl(C_i\bigr),
onde C_i é adimensional aqui porque foi dividida por 1\\ \mathrm{mol/L}.

Passo 3

Preparar unidades constantes e converter \mu_i^0 para as mesmas unidades de RT.
  • R está em \mathrm{J/(mol\;K)} e RT terá unidades de \mathrm{J/mol}. Portanto é conveniente trabalhar em \mathrm{J/mol} ao calcular \mu_i, e só depois voltar para \mathrm{kJ/mol} para uma resposta mais legível.
  • Converter \mu_i^0 de \mathrm{kJ/mol} para \mathrm{J/mol}:
\mu_i^0 = -1360\\ \mathrm{kJ/mol} = -1360\times 10^3\\ \mathrm{J/mol} = -1\,360\,000\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 4

Calcular o produto RT.
R T = 8,314\\ \mathrm{J/(mol\;K)} \times 298\\ \mathrm{K}.
Fazendo a conta:
R T = 8,314 \times 298 = 2\,478,572\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 5

Calcular o logaritmo natural da concentração adimensionalizada.
Como assumimos c^0=1\\ \mathrm{mol/L},
\ln\!\bigl(C_i\bigr)=\ln\!(0,1).
Lembrando que \ln(0,1) = -2,302585093\ldots (valor padrão).

Passo 6

Calcular o termo RT\ln(C_i).
RT\ln(C_i) = 2\,478,572\\ \mathrm{J/mol}\times (-2,302585093\ldots).
Multiplicando:
RT\ln(C_i) \approx -5\,707,121\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 7

Somar os termos para obter \mu_i em \mathrm{J/mol}.
\mu_i = \mu_i^0 + RT\ln(C_i) = -1\,360\,000\\ \mathrm{J/mol} + (-5\,707,121\\ \mathrm{J/mol}).
Portanto
\mu_i \approx -1\,365\,707,121\\ \mathrm{J/mol}.

Passo 8

Converter o resultado para \mathrm{kJ/mol} e arredondar de forma prática.
Converter para \mathrm{kJ/mol}:
\mu_i \approx -1\,365,707,121\\ \mathrm{J/mol} = -1\,365,707,121/1000\\ \mathrm{kJ/mol} \approx -1\,365,707\\ \mathrm{kJ/mol}.
Arredondando a uma casa decimal apropriada (dados iniciais têm ordem de kJ com unidade inteira), fica:
\mu_i \approx -1\,365,7\\ \mathrm{kJ/mol}.

Resposta

-1365,7\\ \mathrm{kJ/mol}

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