Questão 01. (2,0) Seja a seguinte função densidade de probabilidade:
f(x)=cc c(1-x)^2 & se 0 <= x <= 1 0 & caso contrário á
a) (1,0) Determine o valor de c e calcule a função de distribuição acumulada FX(x)
b) (1,0) Calcule a E(X) e Var(X)

Passo 1

O enunciado dá uma densidade de probabilidade contínua
f(x)= c,(1-x)^2,&0<= x<=1, 0,&caso contrário á
Precisamos usar que
  1. a integral de f sobre R vale 1 para determinar c,
  2. a função de distribuição FX(x)=integral-infty^xf(t),dt,
  3. as fórmulas
E(X)=integral-infty^inftyx,f(x),dx, Var(X)=E(X^2)-l(E(X)r)^2
para obter esperança e variância.

Passo 2

Calcular c impondo
integral-infty^inftyf(x),dx =integral0^1c,(1-x)^2,dx=1
Como
integral0^1(1-x)^2,dx =[-(1-x)^33]0^1 =13,
segue
ccdot13=1 Longrightarrow c=3

Passo 3

Determinar a função de distribuição
Para x<0 temos
FX(x)=0
Para 0<= x<=1
FX(x) =integral0^x3,(1-t)^2,dt =3[-(1-t)^33]0^x =1-(1-x)^3
Para x>1 fica
FX(x)=1

Passo 4

Calcular E(X) usando
E(X) =integral0^1x;3,(1-x)^2,dx =3integral0^1(x-2x^2+x^3),dx =3l[tfrac12-tfrac23+tfrac14r] = tfrac14

Passo 5

Calcular E(X^2) e depois a variância:
E(X^2) =integral0^1x^2;3,(1-x)^2,dx =3integral0^1(x^2-2x^3+x^4),dx =3l[tfrac13-tfrac24+tfrac15r] = tfrac110
Logo
Var(X) =E(X^2)-l(E(X)r)^2 =tfrac110-l(tfrac14r)^2 =tfrac110-tfrac116 =tfrac380

Resposta

a)
b) .

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