Questão 02.
A liga de futebol de um país tem 3 times: time 1, time 2 e time 3. Um time estrangeiro em excursão pelo país vai jogar um amistoso contra cada um dos times 1,2 e 3 . Suponha que contra o time 1 este time tem probabilidade
de conquistar a vitória, enquanto essa probabilidade vale
quando o adversário é o time 2 e vale
quando o adversário é o time 3. Assuma também que os resultados dos três amistosos são independentes. Seja
o número de vitórias conquistadas pelo time estrangeiro nos três amistosos:
a)
Obtenha a função de probabilidade de
b)
Qual a probabilidade de que o time estrangeiro obtenha pelo menos uma vitória?
a)
b)
Passo 1
O enunciado descreve três amistosos independentes, com probabilidades de vitória diferentes: contra o time 1,
; contra o time 2,
; e contra o time 3,
. Definimos
como o número total de vitórias nesses três jogos. Para obter a função de probabilidade de
(uma distribuição do tipo Poisson-binomial) usaremos a regra do produto para eventos independentes, somando os casos com exatamente
vitórias. Para a probabilidade de “pelo menos uma vitória” usamos
.
Passo 2
Calculamos
, ou seja, nenhuma vitória em nenhum dos três jogos. Como são independentes,
Passo 3
Para
somamos as probabilidades de obter exatamente uma vitória e duas derrotas. Há três casos: vitória apenas no jogo 1, apenas no jogo 2 ou apenas no jogo 3.
Substituindo os valores:
Passo 4
Para
somamos as probabilidades de obter exatamente duas vitórias e uma derrota. Há três pares de jogos vencidos:
Substituindo:
Passo 5
Para
é a probabilidade de vencer todos os três jogos:
Passo 6
A probabilidade de obter pelo menos uma vitória é
Resposta
a) A função de probabilidade de
é
b)