Questão 02. (2,5) A liga de futebol de um país tem 3 times: time 1, time 2 e time 3. Um time estrangeiro em excursão pelo país vai jogar um amistoso contra cada um dos times 1,2 e 3 . Suponha que contra o time 1 este time tem probabilidade 1 / 4 de conquistar a vitória, enquanto essa probabilidade vale 1 / 2 quando o adversário é o time 2 e vale 2 / 5 quando o adversário é o time 3. Assuma também que os resultados dos três amistosos são independentes. Seja X o número de vitórias conquistadas pelo time estrangeiro nos três amistosos:
a) (1,5) Obtenha a função de probabilidade de X
b) (1,0) Qual a probabilidade de que o time estrangeiro obtenha pelo menos uma vitória?

Passo 1

O enunciado descreve três amistosos independentes, com probabilidades de vitória diferentes: contra o time 1, p1=tfrac14; contra o time 2, p2=tfrac12; e contra o time 3, p3=tfrac25. Definimos X como o número total de vitórias nesses três jogos. Para obter a função de probabilidade de X (uma distribuição do tipo Poisson-binomial) usaremos a regra do produto para eventos independentes, somando os casos com exatamente k vitórias. Para a probabilidade de “pelo menos uma vitória” usamos P(X>=1)=1-P(X=0).

Passo 2

Calculamos P(X=0), ou seja, nenhuma vitória em nenhum dos três jogos. Como são independentes,
P(X=0)=l(1-p1r),l(1-p2r),l(1-p3r) =l(1-tfrac14r)l(1-tfrac12r)l(1-tfrac25r) =tfrac34cdottfrac12cdottfrac35 =tfrac940

Passo 3

Para P(X=1) somamos as probabilidades de obter exatamente uma vitória e duas derrotas. Há três casos: vitória apenas no jogo 1, apenas no jogo 2 ou apenas no jogo 3.
P(X=1) =p1,(1-p2),(1-p3) +p2,(1-p1),(1-p3) +p3,(1-p1),(1-p2)
Substituindo os valores:
=tfrac14cdottfrac12cdottfrac35 +tfrac12cdottfrac34cdottfrac35 +tfrac25cdottfrac34cdottfrac12 =tfrac340+tfrac940+tfrac640 =tfrac1840 =tfrac920

Passo 4

Para P(X=2) somamos as probabilidades de obter exatamente duas vitórias e uma derrota. Há três pares de jogos vencidos:
P(X=2) =p1,p2,(1-p3) +p1,p3,(1-p2) +p2,p3,(1-p1)
Substituindo:
=tfrac14cdottfrac12cdottfrac35 +tfrac14cdottfrac25cdottfrac12 +tfrac12cdottfrac25cdottfrac34 =tfrac340+tfrac240+tfrac640 =tfrac1140

Passo 5

Para P(X=3) é a probabilidade de vencer todos os três jogos:
P(X=3)=p1,p2,p3 =tfrac14cdottfrac12cdottfrac25 =tfrac120 =tfrac240

Passo 6

A probabilidade de obter pelo menos uma vitória é
P(X>=1)=1-P(X=0)=1-tfrac940=tfrac3140

Resposta

a) A função de probabilidade de X é
P(X=0)=tfrac940, P(X=1)=tfrac920, P(X=2)=tfrac1140, P(X=3)=tfrac120
b) P(X>=1)=tfrac3140

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