QUESTÃO 01: Usando u=64=2^{6} e v=27=3^{3}, gere a segunda tripla pitagórica que aparece em Plimpton 322. Sabendo que 4601 e 6649 são números na próxima tripla em Plimpton 322 , descubra os correspondentes geradores u e v, assim como o terceiro número.

Passo 1

O enunciado dá duas coisas e faz duas perguntas claras:
  • Dados iniciais: u=64=2^{6} e v=27=3^{3}.
  • Pedido 1: gerar a “segunda tripla pitagórica” correspondente a esses geradores u e v.
  • Informação adicional: na tripla seguinte aparecem os números 4601 e 6649.
  • Pedido 2: a partir de 4601 e 6649, descobrir os geradores u e v correspondentes e o terceiro número da tripla (ou seja, o outro cateto ou hipotenusa que completa a tripla).

Passo 2

Qual é a fórmula que vamos usar (explicadinha, passo a passo)?
  • Existe uma receita simples que, dados dois inteiros u e v com u>v>0, gera uma tripla pitagórica inteira:
a = u^{2}-v^{2},\qquad b = 2uv,\qquad c = u^{2}+v^{2}.
Aqui cada símbolo significa:
  • u e v: os geradores (números inteiros dados).
  • a e b: os catetos (os dois lados menores do triângulo retângulo).
  • c: a hipotenusa (o lado maior).
    Por que isso funciona? Mostro a verificação algébrica:
(a)^{2}+(b)^{2}=(u^{2}-v^{2})^{2}+(2uv)^{2}
\qquad = u^{4}-2u^{2}v^{2}+v^{4}+4u^{2}v^{2}
\qquad = u^{4}+2u^{2}v^{2}+v^{4}=(u^{2}+v^{2})^{2}=c^{2}.
Logo os três números obedecem ao teorema de Pitágoras, isto é, formam uma tripla pitagórica.

Passo 3

Aplicando a fórmula a u=64 e v=27. Primeiro calculo passo a passo as potências e produtos:
u^{2}=64^{2}=4096, \qquad v^{2}=27^{2}=729.
Agora a=u^{2}-v^{2}:
a=4096-729=3367.
Agora b=2uv:
b=2\cdot64\cdot27=128\cdot27=3456.
E c=u^{2}+v^{2}:
c=4096+729=4825.
Portanto a tripla obtida (ordenada como (a,b,c)) é
(3367,\,3456,\,4825).
Podemos checar rapidinho que 3367^{2}+3456^{2}=4825^{2} (os quadrados somam corretamente, conforme a verificação algébrica do passo anterior).

Passo 4

Agora a segunda parte: sabemos que na tripla seguinte aparecem os números 4601 e 6649. Primeiro precisamos decidir qual papel cada um desempenha (cateto ou hipotenusa).
  • Observação rápida: 2uv é sempre um número par. Dos dois dados, 4601 é ímpar e 6649 também é ímpar. Portanto nenhum dos dois pode ser a forma 2uv. Logo os dois dados devem ser expressíveis como u^{2}-v^{2} e u^{2}+v^{2} (um será o cateto dado por diferença de quadrados e o outro a hipotenusa).
  • Como a hipotenusa é o maior número da tripla, e 6649>4601, faz sentido tomar
u^{2}+v^{2}=6649, \qquad u^{2}-v^{2}=4601.

Passo 5

Resolver o sistema para u^{2} e v^{2}. Somando as duas equações:
(u^{2}+v^{2})+(u^{2}-v^{2})=6649+4601 \Rightarrow 2u^{2}=11250.
Logo
u^{2}=\frac{11250}{2}=5625.
Subtraindo as equações (ou dividindo convenientemente) para v^{2}:
(u^{2}+v^{2})-(u^{2}-v^{2})=6649-4601 \Rightarrow 2v^{2}=2048,
v^{2}=\frac{2048}{2}=1024.
Agora extraio raízes positivas (os geradores são positivos):
u=\sqrt{5625}=75, \qquad v=\sqrt{1024}=32.

Passo 6

Calcular o terceiro número da tripla (o cateto que ainda falta). Com u=75 e v=32 aplico 2uv:
2uv=2\cdot75\cdot32=150\cdot32=4800.
Portanto a tripla completa é (4601,\,4800,\,6649), onde 4601=u^{2}-v^{2}, 4800=2uv e 6649=u^{2}+v^{2}.
Faço uma verificação numérica rápida de consistência: 6649^{2}-4601^{2}=(6649-4601)(6649+4601)=2048\cdot11250=23\,040\,000, e \sqrt{23\,040\,000}=4800, confirmando que os três formam uma tripla pitagórica inteira.

Resposta

(3367,\,3456,\,4825)
u=75,\quad v=32,\quad\text{terceiro número}=4800ú

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