QUESTÃO 01: Usando
e
, gere a segunda tripla pitagórica que aparece em Plimpton 322. Sabendo que 4601 e 6649 são números na próxima tripla em Plimpton 322 , descubra os correspondentes geradores u e v, assim como o terceiro número.
Passo 1
O enunciado dá duas coisas e faz duas perguntas claras:
- Dados iniciais:
e . - Pedido 1: gerar a “segunda tripla pitagórica” correspondente a esses geradores
e . - Informação adicional: na tripla seguinte aparecem os números
e . - Pedido 2: a partir de
e , descobrir os geradores e correspondentes e o terceiro número da tripla (ou seja, o outro cateto ou hipotenusa que completa a tripla).
Passo 2
Qual é a fórmula que vamos usar (explicadinha, passo a passo)?
- Existe uma receita simples que, dados dois inteiros
e com , gera uma tripla pitagórica inteira:
Aqui cada símbolo significa:
-
e : os geradores (números inteiros dados). -
e : os catetos (os dois lados menores do triângulo retângulo). -
: a hipotenusa (o lado maior).
Por que isso funciona? Mostro a verificação algébrica:
Logo os três números obedecem ao teorema de Pitágoras, isto é, formam uma tripla pitagórica.
Passo 3
Aplicando a fórmula a
e
. Primeiro calculo passo a passo as potências e produtos:
Agora
:
Agora
:
E
:
Portanto a tripla obtida (ordenada como
) é
Podemos checar rapidinho que
(os quadrados somam corretamente, conforme a verificação algébrica do passo anterior).
Passo 4
Agora a segunda parte: sabemos que na tripla seguinte aparecem os números
e
. Primeiro precisamos decidir qual papel cada um desempenha (cateto ou hipotenusa).
- Observação rápida:
é sempre um número par. Dos dois dados, é ímpar e também é ímpar. Portanto nenhum dos dois pode ser a forma . Logo os dois dados devem ser expressíveis como e (um será o cateto dado por diferença de quadrados e o outro a hipotenusa). - Como a hipotenusa é o maior número da tripla, e
, faz sentido tomar
Passo 5
Resolver o sistema para
e
. Somando as duas equações:
Logo
Subtraindo as equações (ou dividindo convenientemente) para
:
Agora extraio raízes positivas (os geradores são positivos):
Passo 6
Calcular o terceiro número da tripla (o cateto que ainda falta). Com
e
aplico
:
Portanto a tripla completa é
, onde
,
e
.
Faço uma verificação numérica rápida de consistência: , e
, confirmando que os três formam uma tripla pitagórica inteira.
Faço uma verificação numérica rápida de consistência: