(Integração no Eixo Real via Resíduos) Calcule as integrais reais abaixo usando contornos complexos:
\int_{0}^{2 \pi} \frac{1}{2+\cos \theta} d \theta

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos:
  • Pede calcular a integral real
I=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2+\cos\theta}\,d\theta.
  • O intervalo de integração é [0,2\pi].
  • Não há outros dados numéricos; a integral é uma integral de função trigonométrica periódica no círculo.

Passo 2

Ideia geral que vamos usar (sem resolver ainda): transformar a integral em uma integral de contorno complexo sobre o círculo unitário usando a substituição \,z=e^{i\theta}\,. Essa substituição mapeia \theta\in[0,2\pi] no círculo unitário |z|=1 no sentido anti-horário. Para aplicar isso precisamos das relações padrão entre \theta e z:
\cos\theta=\frac{z+z^{-1}}{2}, \qquad d\theta=\frac{dz}{i z},
onde z=e^{i\theta} e dz=i e^{i\theta} d\theta=i z\,d\theta, o que leva à expressão para d\theta acima.

Passo 3

Fazer a transformação explícita: substituir \cos\theta e d\theta em termos de z.
Primeiro escrever o integrando em termos de z:
2+\cos\theta = 2+\frac{z+z^{-1}}{2}=\frac{4z+z^2+1}{2z}.
Logo
\frac{1}{2+\cos\theta}=\frac{2z}{z^2+4z+1}.
Agora multiplicar por d\theta=\dfrac{dz}{i z}:
\frac{1}{2+\cos\theta}\,d\theta = \frac{2z}{z^2+4z+1}\cdot\frac{dz}{i z} = \frac{2}{i}\cdot\frac{dz}{z^2+4z+1}.
Portanto a integral original se transforma na integral de contorno
I=\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{2+\cos\theta}\,d\theta = \frac{2}{i}\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+4z+1},
onde a integral de contorno é no círculo unitário |z|=1, orientado positivamente.

Passo 4

Localizar os polos da função integranda complexa
f(z)=\frac{1}{z^2+4z+1}.
Os polos são as raízes do denominador z^2+4z+1=0. Resolver a equação quadrática:
z = \frac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot1\cdot1}}{2} = \frac{-4\pm\sqrt{12}}{2} = \frac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2} = -2\pm\sqrt{3}.
Assim os dois polos são
z_1=-2+\sqrt{3},\qquad z_2=-2-\sqrt{3}.

Passo 5

Decidir quais polos estão dentro do círculo unitário |z|<1.
Calcular as magnitudes (valores aproximados para entender a posição relativa):
z_1=-2+\sqrt{3}\approx -2+1{,}732\approx -0{,}2679,\qquad |z_1|\approx 0{,}2679<1,
z_2=-2-\sqrt{3}\approx -3{,}732,\qquad |z_2|\approx 3{,}732>1.
Portanto somente z_1 está dentro do círculo unitário; z_2 está fora.

Passo 6

Lembrar o que precisamos do teorema dos resíduos: se uma função é meromorfa dentro e sobre um contorno simples fechado orientado positivamente e tem polos isolados dentro, então a integral de contorno é 2\pi i vezes a soma dos resíduos nos polos internos. Aqui temos
I=\frac{2}{i}\oint_{|z|=1}\frac{dz}{z^2+4z+1} = \frac{2}{i}\cdot 2\pi i\sum_{\text{pólos interna}} \operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{z^2+4z+1},\; \text{pólo}\right).óó
Como só z_1 está dentro, precisamos de \operatorname{Res}\!\big(1/(z^2+4z+1),z_1\big).

Passo 7

Calcular o resíduo em um polo simples. Para uma função da forma \dfrac{1}{(z-z_1)(z-z_2)} o resíduo em z_1 é 1/(z_1-z_2). Aqui o denominador fatorado é (z-z_1)(z-z_2), logo
\operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{z^2+4z+1},z_1\right)=\frac{1}{z_1-z_2}.
Calcular z_1-z_2:
z_1-z_2 = (-2+\sqrt{3})-(-2-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}.
Portanto
\operatorname{Res}\!\left(\frac{1}{z^2+4z+1},z_1\right)=\frac{1}{2\sqrt{3}}.

Passo 8

Aplicar o teorema dos resíduos para obter I. Substituindo na expressão do passo 6:
I=\frac{2}{i}\cdot 2\pi i\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}.
Simplificar: o fator i no numerador e denominador cancela e os fatores 2 reduzem:
I = \frac{2\cdot 2\pi i}{i}\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}} = 4\pi\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}=\frac{2\pi}{\sqrt{3}}.

Resposta

\dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}

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