(Integração no Eixo Real via Resíduos) Calcule as integrais reais abaixo usando contornos complexos:
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados que temos:
- Pede calcular a integral real
- O intervalo de integração é
. - Não há outros dados numéricos; a integral é uma integral de função trigonométrica periódica no círculo.
Passo 2
Ideia geral que vamos usar (sem resolver ainda): transformar a integral em uma integral de contorno complexo sobre o círculo unitário usando a substituição
. Essa substituição mapeia
no círculo unitário
no sentido anti-horário. Para aplicar isso precisamos das relações padrão entre
e
:
onde
e
, o que leva à expressão para
acima.
Passo 3
Fazer a transformação explícita: substituir
e
em termos de
.
Primeiro escrever o integrando em termos de
:
Logo
Agora multiplicar por
:
Portanto a integral original se transforma na integral de contorno
onde a integral de contorno é no círculo unitário
, orientado positivamente.
Passo 4
Localizar os polos da função integranda complexa
Os polos são as raízes do denominador
. Resolver a equação quadrática:
Assim os dois polos são
Passo 5
Decidir quais polos estão dentro do círculo unitário
.
Calcular as magnitudes (valores aproximados para entender a posição relativa):
Portanto somente
está dentro do círculo unitário;
está fora.
Passo 6
Lembrar o que precisamos do teorema dos resíduos: se uma função é meromorfa dentro e sobre um contorno simples fechado orientado positivamente e tem polos isolados dentro, então a integral de contorno é
vezes a soma dos resíduos nos polos internos. Aqui temos
Como só
está dentro, precisamos de
.
Passo 7
Calcular o resíduo em um polo simples. Para uma função da forma
o resíduo em
é
. Aqui o denominador fatorado é
, logo
Calcular
:
Portanto
Passo 8
Aplicar o teorema dos resíduos para obter
. Substituindo na expressão do passo 6:
Simplificar: o fator
no numerador e denominador cancela e os fatores
reduzem: