Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) Seja U um subespaço vetorial de V . A união das bases de U e \mathrm{U}^{\perp} é um conjunto ortogonal

Passo 1

O enunciado dá que U é um subespaço vetorial de V. Pede-se verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justificar:
  • Afirmação: “A união das bases de U e de U^{\perp} é um conjunto ortogonal.”
Informações relevantes fornecidas:
  • Existe uma base qualquer de U (não foi dito que é ortogonal nem ortonormal).
  • Existe uma base qualquer de U^{\perp} (também não foi dito que é ortogonal).
  • A definição de U^{\perp} é o conjunto de todos os vetores em V que são ortogonais a todos os vetores de U.
O que o enunciado exige: decidir se para bases arbitrárias (qualquer escolha de base) das duas subespaços a união sempre forma um conjunto ortogonal, e justificar a resposta.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa “conjunto ortogonal” e o que é U^{\perp}:
  • Um conjunto S\subset V é ortogonal se, para quaisquer dois vetores distintos x,y\in S, vale \langle x,y\rangle=0, onde \langle\cdot,\cdot\rangle denota o produto interno em V.
  • Por definição,
U^{\perp}=\{w\in V \mid \langle w,u\rangle=0\\ \text{para todo}\\ u\in U\}.
Logo, qualquer vetor de U^{\perp} é ortogonal a qualquer vetor de U.
Essas definições são o ferramental que vamos usar.

Passo 3

Observação imediata: se B_U é uma base de U e B_{U^\perp} é uma base de U^{\perp}, então para todo u\in B_U e todo v\in B_{U^\perp} temos \langle u,v\rangle=0 porque v\in U^{\perp} e u\in U. Portanto todos os pares “cruzados” (um vetor da base de U com um da base de U^{\perp}) são ortogonais.
No entanto, para que a união B_U\cup B_{U^\perp} seja um conjunto ortogonal é preciso, além disso, que vetores distintos dentro de B_U sejam mutuamente ortogonais e vetores distintos dentro de B_{U^\perp} também sejam mutuamente ortogonais. O enunciado não exige que as bases internas sejam ortogonais; bases arbitrárias podem ter vetores não ortogonais entre si. Portanto, a afirmação “a união das bases de U e U^{\perp} é um conjunto ortogonal” não é verdadeira em geral — depende da escolha das bases.

Passo 4

Vou fornecer um contraexemplo concreto e calcular explicitamente os produtos internos para deixar claro.
Escolha V=\mathbb{R}^3 com o produto interno padrão \langle x,y\rangle = x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3.
Considere o subespaço
U=\operatorname{span}\{(1,0,0),(0,1,0)\},
isto é, o plano xy- (os dois primeiros eixos). Então
U^{\perp}=\operatorname{span}\{(0,0,1)\}.
Escolha a base de U dada por
B_U=\{u_1,u_2\},\quad u_1=(1,0,0),\\ u_2=(1,1,0).
Note que u_1 e u_2 são linearmente independentes e geram U, logo formam uma base de U, mas não são ortogonais entre si.
Escolha a base de U^{\perp}
B_{U^\perp}=\{v\},\quad v=(0,0,1).
Calculemos os produtos internos:
\langle u_1,u_2\rangle = (1)(1)+(0)(1)+(0)(0)=1\neq 0,
\langle u_1,v\rangle = (1)(0)+(0)(0)+(0)(1)=0,
\langle u_2,v\rangle = (1)(0)+(1)(0)+(0)(1)=0.
Concluímos que os pares cruzados são ortogonais (como esperado), mas u_1 e u_2 não são ortogonais entre si. Portanto a união
B_U\cup B_{U^\perp}=\{(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1)\}
não é um conjunto ortogonal porque existe um par distinto (os dois primeiros) com produto interno diferente de zero. Assim a afirmação é falsa em geral.

Passo 5

Explicação didática final e dica para a prova:
  • A razão da falsidade é simples: a ortogonalidade entre U e U^{\perp} garante apenas que vetores de U sejam ortogonais a vetores de U^{\perp}. Nada garante que os vetores dentro de uma mesma base de U (ou de U^{\perp}) sejam ortogonais entre si — uma base arbitrária pode ser completamente não ortogonal.
  • Quando se quer realmente uma união de bases que seja ortogonal, deve-se escolher bases ortogonais em cada subespaço (por exemplo, aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter bases ortogonais/ortonormais em U e em U^{\perp}); então a união dessas bases ortogonais será um conjunto ortogonal.

Resposta

F

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