Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) Seja U um subespaço vetorial de V . A união das bases de U e
é um conjunto ortogonal
( ) Seja U um subespaço vetorial de V . A união das bases de U e
Passo 1
O enunciado dá que
é um subespaço vetorial de
. Pede-se verificar se a seguinte afirmação é verdadeira ou falsa e justificar:
- Afirmação: “A união das bases de
e de é um conjunto ortogonal.”
Informações relevantes fornecidas:
- Existe uma base qualquer de
(não foi dito que é ortogonal nem ortonormal). - Existe uma base qualquer de
(também não foi dito que é ortogonal). - A definição de
é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores de .
O que o enunciado exige: decidir se para bases arbitrárias (qualquer escolha de base) das duas subespaços a união sempre forma um conjunto ortogonal, e justificar a resposta.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa “conjunto ortogonal” e o que é
:
-
Um conjunto
é ortogonal se, para quaisquer dois vetores distintos , vale , onde denota o produto interno em . -
Por definição,
Logo, qualquer vetor de
é ortogonal a qualquer vetor de
.
Essas definições são o ferramental que vamos usar.
Passo 3
Observação imediata: se
é uma base de
e
é uma base de
, então para todo
e todo
temos
porque
e
. Portanto todos os pares “cruzados” (um vetor da base de
com um da base de
) são ortogonais.
No entanto, para que a união
seja um conjunto ortogonal é preciso, além disso, que vetores distintos dentro de
sejam mutuamente ortogonais e vetores distintos dentro de
também sejam mutuamente ortogonais. O enunciado não exige que as bases internas sejam ortogonais; bases arbitrárias podem ter vetores não ortogonais entre si. Portanto, a afirmação “a união das bases de
e
é um conjunto ortogonal” não é verdadeira em geral — depende da escolha das bases.
Passo 4
Vou fornecer um contraexemplo concreto e calcular explicitamente os produtos internos para deixar claro.
Escolha
com o produto interno padrão
.
Considere o subespaço
isto é, o plano
- (os dois primeiros eixos). Então
Escolha a base de
dada por
Note que
e
são linearmente independentes e geram
, logo formam uma base de
, mas não são ortogonais entre si.
Escolha a base de
Calculemos os produtos internos:
Concluímos que os pares cruzados são ortogonais (como esperado), mas
e
não são ortogonais entre si. Portanto a união
não é um conjunto ortogonal porque existe um par distinto (os dois primeiros) com produto interno diferente de zero. Assim a afirmação é falsa em geral.
Passo 5
Explicação didática final e dica para a prova:
- A razão da falsidade é simples: a ortogonalidade entre
e garante apenas que vetores de sejam ortogonais a vetores de . Nada garante que os vetores dentro de uma mesma base de (ou de ) sejam ortogonais entre si — uma base arbitrária pode ser completamente não ortogonal. - Quando se quer realmente uma união de bases que seja ortogonal, deve-se escolher bases ortogonais em cada subespaço (por exemplo, aplicar o processo de Gram–Schmidt para obter bases ortogonais/ortonormais em
e em ); então a união dessas bases ortogonais será um conjunto ortogonal.
Resposta
F