Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) A união de dois subconjuntos linearmente independente (LI) é linearmente independente (LI)
( ) A união de dois subconjuntos linearmente independente (LI) é linearmente independente (LI)
Passo 1
O enunciado pede que eu julgue como Verdadeiro (V) ou Falso (F) a afirmação e que justifique a resposta. A afirmação é: “A união de dois subconjuntos linearmente independente (LI) é linearmente independente (LI)”. Informação dada: apenas essa afirmação; não há restrição sobre o espaço vetorial nem sobre os subconjuntos além de serem LI.
Passo 2
Vamos lembrar claramente o que significa “linearmente independente” (explicação bem mastigada).
- Um conjunto de vetores
é dito linearmente independente se a única solução da equação
é
.
- Em palavras simples: não existe nenhuma combinação linear não trivial (algum coeficiente diferente de zero) dos vetores de
que dê o vetor nulo. Se existir tal combinação não trivial, chamamos o conjunto de linearmente dependente.
Passo 3
Estratégia para responder à proposição: para provar que uma afirmação “todo caso” é falsa basta dar um contraexemplo concreto. Vou construir um contraexemplo simples e explicá-lo passo a passo. Também depois dou um comentário útil sobre quando a união sí seria LI.
Passo 4
Construindo um contraexemplo bem simples em
.
Escolho os subconjuntos
no espaço vetorial
.
Primeiro, verifico que cada um dos conjuntos é linearmente independente:
- O conjunto
tem um único vetor . Um singleton é linearmente independente se e só se . Aqui , logo é LI. - O conjunto
tem , que também é diferente do vetor nulo, logo é LI.
Portanto ambos os subconjuntos são LI, como exigido pela hipótese da afirmação.
Passo 5
Agora analiso a união
:
Vou mostrar que este conjunto é linearmente dependente, fornecendo uma combinação linear não trivial que dê zero.
Considere os coeficientes
e
. Então
Aqui encontramos uma combinação linear não trivial (os coeficientes não são todos zero) que produz o vetor nulo. Logo
é linearmente dependente.
Passo 6
Conclusão do contraexemplo: achamos dois subconjuntos
e
que são LI individualmente, mas cuja união é LD. Isso mostra que a afirmação geral é falsa.
Passo 7
Comentário didático extra (útil para prova): condição suficiente e necessária simples para que a união de dois conjuntos LI seja LI.
Se
e
são conjuntos de vetores, então
é linearmente independente se, por exemplo, nenhuma combinação não trivial de vetores de
puder ser expressa como combinação de vetores de
e vice-versa. Uma forma elegante dessa condição é:
Raciocínio rápido por que isso funciona: se uma combinação de vetores de
dá zero, separe a soma em parte de
e parte de
; cada parte representa um vetor que pertence à interseção
, então ambas as partes devem ser nulas e, pela independência de
e de
, todos os coeficientes são zero. Esta é uma boa condição para tentar ou justificar em uma prova quando se quer provar que a união é LI.
Resposta
Falso.