Questão-01. Verdadeiro ( V ) ou Falso ( F ). Justifique a resposta.
( ) A união de dois subconjuntos linearmente independente (LI) é linearmente independente (LI)

Passo 1

O enunciado pede que eu julgue como Verdadeiro (V) ou Falso (F) a afirmação e que justifique a resposta. A afirmação é: “A união de dois subconjuntos linearmente independente (LI) é linearmente independente (LI)”. Informação dada: apenas essa afirmação; não há restrição sobre o espaço vetorial nem sobre os subconjuntos além de serem LI.

Passo 2

Vamos lembrar claramente o que significa “linearmente independente” (explicação bem mastigada).
  • Um conjunto de vetores S=\{v_1,v_2,\dots,v_k\} é dito linearmente independente se a única solução da equação
\alpha_1 v_1+\alpha_2 v_2+\cdots+\alpha_k v_k=0
é \alpha_1=\alpha_2=\cdots=\alpha_k=0.
  • Em palavras simples: não existe nenhuma combinação linear não trivial (algum coeficiente diferente de zero) dos vetores de S que dê o vetor nulo. Se existir tal combinação não trivial, chamamos o conjunto de linearmente dependente.

Passo 3

Estratégia para responder à proposição: para provar que uma afirmação “todo caso” é falsa basta dar um contraexemplo concreto. Vou construir um contraexemplo simples e explicá-lo passo a passo. Também depois dou um comentário útil sobre quando a união sí seria LI.

Passo 4

Construindo um contraexemplo bem simples em \mathbb{R}^2.
Escolho os subconjuntos
A=\{(1,0)\},\qquad B=\{(2,0)\}
no espaço vetorial \mathbb{R}^2.
Primeiro, verifico que cada um dos conjuntos é linearmente independente:
  • O conjunto A tem um único vetor (1,0). Um singleton \{v\} é linearmente independente se e só se v\neq(0,0). Aqui (1,0)\neq(0,0), logo A é LI.
  • O conjunto B tem (2,0), que também é diferente do vetor nulo, logo B é LI.
Portanto ambos os subconjuntos são LI, como exigido pela hipótese da afirmação.

Passo 5

Agora analiso a união A\cup B:
A\cup B=\{(1,0),(2,0)\}.
Vou mostrar que este conjunto é linearmente dependente, fornecendo uma combinação linear não trivial que dê zero.
Considere os coeficientes \alpha_1=2 e \alpha_2=-1. Então
2\cdot(1,0)+(-1)\cdot(2,0)= (2,0)+(-2,0)=(0,0).
Aqui encontramos uma combinação linear não trivial (os coeficientes não são todos zero) que produz o vetor nulo. Logo A\cup B é linearmente dependente.

Passo 6

Conclusão do contraexemplo: achamos dois subconjuntos A e B que são LI individualmente, mas cuja união é LD. Isso mostra que a afirmação geral é falsa.

Passo 7

Comentário didático extra (útil para prova): condição suficiente e necessária simples para que a união de dois conjuntos LI seja LI.
Se A e B são conjuntos de vetores, então A\cup B é linearmente independente se, por exemplo, nenhuma combinação não trivial de vetores de A puder ser expressa como combinação de vetores de B e vice-versa. Uma forma elegante dessa condição é:
\text{se } \operatorname{span}(A)\cap\operatorname{span}(B)=\{0\}\text{ e tanto \(A\) quanto \(B\) são LI, então }A\cup B\text{ é LI.}ããé
Raciocínio rápido por que isso funciona: se uma combinação de vetores de A\cup B dá zero, separe a soma em parte de A e parte de B; cada parte representa um vetor que pertence à interseção \operatorname{span}(A)\cap\operatorname{span}(B), então ambas as partes devem ser nulas e, pela independência de A e de B, todos os coeficientes são zero. Esta é uma boa condição para tentar ou justificar em uma prova quando se quer provar que a união é LI.

Resposta

Falso.

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