(Questão 02) [1,0 ponto] Escreva uma equação reduzida da hipérbole cujos focos são (-5,0) e (5,0) e as assíntotas têm equações 2 y=x e 2 y=-x.
(a) \frac{x^{2}}{20}-\frac{y^{2}}{5}=1
(b) -\frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{5}=1
(c) -\frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{20}=1
(d) \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{20}=1
(e) \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{20}=1

Passo 1

O enunciado pede a equação reduzida da hipérbole que tem focos em (-5,0) e (5,0) e assíntotas 2y=x e 2y=-x. Como os focos estão sobre o eixo x, a forma reduzida é
\frac{x^2}{a^2} \;-\;\frac{y^2}{b^2}=1,
com centro em (0,0).

Passo 2

As assíntotas dessa hipérbole são dadas por
y=\pm\frac{b}{a}\,x
e nos foi dado y=\pm\frac{x}{2}. Logo,
\frac{b}{a}=\frac12 \quad\implies\quad b=\frac{a}{2}.

Passo 3

Para hipérbole horizontal vale
c^2 = a^2 + b^2,
onde c é a distância do centro a cada foco. Aqui c=5, então
25 = a^2 +\Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)^{2} = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}.

Passo 4

Resolvendo para a^2:
25 = \frac{5a^2}{4} \quad\implies\quad a^2 = 20.
Então
b^2 = \Bigl(\tfrac{a}{2}\Bigr)^2 = \frac{20}{4} = 5.

Passo 5

Substituindo a^2=20 e b^2=5 na forma reduzida, obtemos
\frac{x^2}{20} \;-\;\frac{y^2}{5} = 1.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{x^{2}}{20}-\frac{y^{2}}{5}=1

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