Sejam
duas retas do plano e paralelas. O que se pode dizer sobre a reta dada pela equação que é combinação linear das dessas duas
?
Passo 1
O enunciado dá duas retas paralelas no plano:
e pergunta o que ocorre com a “reta” obtida por combinação linear das equações:
O conteúdo envolve normal de reta, paralelismo e combinação de equações lineares.
Passo 2
Para que
e
sejam paralelas, seus vetores normais
e
devem ser proporcionais.
Isto é, existe um escalar tal que
Isto é, existe um escalar
Passo 3
Substituindo
e
nos coeficientes da combinação, temos
Logo o vetor normal da reta combinada é
que é paralelo a
.
Passo 4
Se
, então
e a equação
define de fato uma reta cujo vetor normal é proporcional a
. Assim essa reta é paralela a
e
.
Se, porém, , os coeficientes de
e
anulam-se e a equação degenera em
Se, porém,
que ou não tem solução (se
) ou é satisfeita por todo ponto do plano (se
), mas não define reta.
Resposta
A reta obtida por combinação linear é paralela a
e
, desde que
. Se estes coeficientes se anulam, a equação não define uma reta.