Sejam a x+b y=c e A x+B y=C duas retas do plano e paralelas. O que se pode dizer sobre a reta dada pela equação que é combinação linear das dessas duas (r a+s A) x+(r b+s B) y=r c+s C ?

Passo 1

O enunciado dá duas retas paralelas no plano:
L_1:\;a x + b y = c
L_2:\;A x + B y = C
e pergunta o que ocorre com a “reta” obtida por combinação linear das equações:
(r a + s A)\,x + (r b + s B)\,y = r c + s C.
O conteúdo envolve normal de reta, paralelismo e combinação de equações lineares.

Passo 2

Para que L_1 e L_2 sejam paralelas, seus vetores normais (a,b) e (A,B) devem ser proporcionais.
Isto é, existe um escalar k\neq0 tal que
A = k\,a \quad\text{e}\quad B = k\,b.

Passo 3

Substituindo A=k\,a e B=k\,b nos coeficientes da combinação, temos
r a + s A = r a + s(k a) = (r + s k)\,a,
r b + s B = r b + s(k b) = (r + s k)\,b.
Logo o vetor normal da reta combinada é
\bigl((r + sk)\,a,\;(r + sk)\,b\bigr)
que é paralelo a (a,b).

Passo 4

Se r + s k \neq 0, então (r a + sA,\;r b + sB)\neq(0,0) e a equação
(r a + s A)x + (r b + s B)y = r c + s C
define de fato uma reta cujo vetor normal é proporcional a (a,b). Assim essa reta é paralela a L_1 e L_2.
Se, porém, r + s k = 0, os coeficientes de x e y anulam-se e a equação degenera em
0 = r c + s C,
que ou não tem solução (se r c + s C \neq 0) ou é satisfeita por todo ponto do plano (se r c + s C = 0), mas não define reta.

Resposta

A reta obtida por combinação linear é paralela a L_1 e L_2, desde que (r a + sA,\;r b + sB)\neq(0,0). Se estes coeficientes se anulam, a equação não define uma reta.

Exercícios relacionados