(Questão 02)[2,0 pontos] Assinale \mathbf{F} para as afirmações FALSAS e \mathbf{V} para afirmações VERDADEIRAS. Não é necessário justificar.
(\quad)(\vec{u}, \vec{v}) \mathrm{LI} \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \mathrm{LI}
( ) Todo conjunto LI de vetores é base de \mathbb{V}^{3}
(\quad)(\vec{u}, \vec{v}) \mathrm{LD} \Rightarrow(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) \mathrm{LD}
( ) ( \vec{u}, \vec{v}, \vec{w} ) LD, então \vec{u} / / \vec{v} / / \vec{w}
( ) Se (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) é LD, então (\vec{u}, \vec{v}) tanto pode ser LD como LI.

Passo 1

O enunciado lista cinco afirmações sobre independência e dependência linear em \mathbb{V}^3 e pede para marcar cada uma como Verdadeira (V) ou Falsa (F).

Passo 2

Avaliar “ (\vec{u},\vec{v}) LI \Rightarrow (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) LI”. Mesmo que \vec{u} e \vec{v} sejam LI, o vetor \vec{w} pode pertencer ao plano gerado por \vec{u},\vec{v}, tornando o trio LD. Logo, é Falsa.

Passo 3

Avaliar “Todo conjunto LI de vetores é base de \mathbb{V}^3”. Em \mathbb{V}^3 uma base precisa ser LI e gerar todo o espaço, mas um conjunto LI pode ter menos de 3 vetores e não gerar \mathbb{V}^3. Logo, é Falsa.

Passo 4

Avaliar “ (\vec{u},\vec{v}) LD \Rightarrow (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) LD”. Se um subconjunto é LD, qualquer conjunto que o contenha também será LD. Logo, é Verdadeira.

Passo 5

Avaliar “Se (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é LD, então \vec{u}//\vec{v}//\vec{w}”. Três vetores podem ser LD por serem coplanares sem serem todos paralelos. Logo, é Falsa.

Passo 6

Avaliar “Se (\vec{u},\vec{v},\vec{w}) é LD, então (\vec{u},\vec{v}) tanto pode ser LD como LI”. De fato, o trio pode depender de \vec{u},\vec{v} serem LD ou porque \vec{w} está no plano de \vec{u},\vec{v}. Logo, é Verdadeira.

Resposta

( F )
( F )
( V )
( F )
( V )

Exercícios relacionados