Determine em cada um dos casos abaixo, x, y e z números reais tais que a matriz A seja simétrica.
B=\left[\begin{array}{ccc}8 & x+3 & -10 \\\\ 15 & -5 & -8 \\\ y-2 & 2 z & 9\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc}8 & x^{2}+3 & -5 \\\\ 7 & -9 & 4 \\\ y+x & z+3 x & 11\end{array}\right].

Passo 1

O enunciado pede para achar valores de x,y,z tais que cada matriz fique simétrica. Uma matriz A é simétrica quando ela coincide com sua transposta, ou seja, para todo par de índices (i,j) temos
A_{ij} = A_{ji}.
Vamos aplicar essa condição aos elementos fora da diagonal principal em cada matriz.

Passo 2

Para
B = \begin{pmatrix} 8 & x+3 & -10\\\\ 15 & -5 & -8\\\ y-2& 2z & 9 \end{pmatrix}
igualamos os pares de entradas simétricas:
  1. B_{12}=B_{21}
x + 3 = 15 \implies x = 12.
  1. B_{13}=B_{31}
-10 = y - 2 \implies y = -8.
  1. B_{23}=B_{32}
-8 = 2z \implies z = -4.

Passo 3

Para
C = \begin{pmatrix} 8 & x^2+3 & -5\\\\ 7 & -9 & 4\\\ y+x & z+3x & 11 \end{pmatrix}
fazemos o mesmo:
  1. C_{12}=C_{21}
x^2 + 3 = 7 \implies x^2 = 4 \implies x = 2 \text{ ou } x = -2.
  1. C_{13}=C_{31}
-5 = y + x \implies y = -5 - x.
  1. C_{23}=C_{32}
4 = z + 3x \implies z = 4 - 3x.
Para x=2 temos
y = -5-2 = -7,\quad z = 4 - 3\cdot2 = -2.
Para x=-2 temos
y = -5 - (-2) = -3,\quad z = 4 - 3(-2) = 10.

Resposta

Para B:
x=12,\;y=-8,\;z=-4.
Para C:
(x,y,z)=(2,-7,-2) ou (x,y,z)=(-2,-3,10).

Exercícios relacionados