Questão 02. ( 2,50 pontos). Na final de uma competição de robótica, duas equipes (Equipe Alpha e Equipe Beta) se enfrentaram em um desafio de 5 rodadas. O desempenho foi avaliado com base no tempo (em segundos) necessário para completar o circuito. A tabela abaixo mostra o tempo obtido por cada equipe em cada uma das rodadas:
Equipe / Rodada Rodada 1 Rodada 2 Rodada 3 Rodada 4 Rodada 5
Equipe Alpha 109 111 112 110 108
Equipe Beta 110 108 113 109 111
Com base nos coeficientes de variação, qual equipe apresentou um desempenho mais consistente durante a final? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede que a gente compare a consistência das duas equipes (Equipe Alpha e Equipe Beta) durante as 5 rodadas, usando os coeficientes de variação. Dados fornecidos (peguei-os da tabela do enunciado):
\begin{array}{l|ccccc} \text{Equipe / Rodada} & \text{Rodada 1} & \text{Rodada 2} & \text{Rodada 3} & \text{Rodada 4} & \text{Rodada 5} \\\ \hline \text{Equipe Alpha} & 109 & 111 & 112 & 110 & 108 \\\ \text{Equipe Beta} & 110 & 108 & 113 & 109 & 111 \\\ \end{array}
Pergunta: “Com base nos coeficientes de variação, qual equipe apresentou um desempenho mais consistente? Justifique.”
Observação importante: vou calcular média, variância (populacional, porque temos todas as 5 rodadas da final) e desvio padrão populacional, e então o coeficiente de variação para cada equipe. Não vou dar a conclusão final neste passo — só listei o que foi pedido e os dados.

Passo 2

Explicando as ferramentas que vou usar (aulas rápidas):
  • Média aritmética: para um conjunto de n valores x_1,\dots,x_n, a média é
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i.
Ela representa o valor central (no nosso caso, o tempo médio de cada equipe).
  • Variância populacional: mede a dispersão em relação à média; para população de tamanho n,
\sigma^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2.
  • Desvio padrão populacional: é a raiz quadrada da variância,
\sigma=\sqrt{\sigma^2},
e dá a dispersão nas mesmas unidades dos dados (segundos).
  • Coeficiente de variação (CV): é a razão entre o desvio padrão e a média,
\text{CV}=\frac{\sigma}{\bar{x}}.
Ele mede a variabilidade relativa: quanto menor o \text{CV}, menos variabilidade em relação ao valor médio, ou seja, maior consistência relativa. Para interpretar em porcentagem multiplicamos por 100\%.

Passo 3

Calcular a média da Equipe Alpha. Soma dos tempos (peguei os números da tabela):
109+111+112+110+108 = 550.
Número de observações n=5. Então a média da Alpha é
\bar{x}_{\text{Alpha}}=\frac{550}{5}=110.

Passo 4

Calcular a variância e o desvio padrão populacional da Equipe Alpha. Primeiro as diferenças em relação à média e seus quadrados:
\begin{array}{lcl} 109-110=-1 &\Rightarrow& (-1)^2=1,\\\\ 111-110=1 &\Rightarrow& 1^2=1,\\\\ 112-110=2 &\Rightarrow& 2^2=4,\\\\ 110-110=0 &\Rightarrow& 0^2=0,\\\\ 108-110=-2 &\Rightarrow& (-2)^2=4. \end{array}
Soma dos quadrados: 1+1+4+0+4=10. Variância populacional:
\sigma^2_{\text{Alpha}}=\frac{10}{5}=2.
Desvio padrão populacional:
\sigma_{\text{Alpha}}=\sqrt{2}\approx 1,4142\\ \text{segundos}.

Passo 5

Calcular o coeficiente de variação da Equipe Alpha. Média \bar{x}_{\text{Alpha}}=110 (Passo 3) e desvio \sigma_{\text{Alpha}}=\sqrt{2} (Passo 4). Então
\text{CV}_{\text{Alpha}}=\frac{\sigma_{\text{Alpha}}}{\bar{x}_{\text{Alpha}}}=\frac{\sqrt{2}}{110}\approx \frac{1,4142}{110}\approx 0,012856.
Em porcentagem:
\text{CV}_{\text{Alpha}}\approx 1,2856\%\approx 1,29\%.

Passo 6

Calcular a média da Equipe Beta. Soma dos tempos (peguei os números da tabela):
110+108+113+109+111 = 551.
Média:
\bar{x}_{\text{Beta}}=\frac{551}{5}=110,2.

Passo 7

Calcular a variância e o desvio padrão populacional da Equipe Beta. Diferenças e quadrados:
\begin{array}{lcl} 110-110,2=-0,2 &\Rightarrow& (-0,2)^2=0,04,\\\\ 108-110,2=-2,2 &\Rightarrow& (-2,2)^2=4,84,\\\\ 113-110,2=2,8 &\Rightarrow& 2,8^2=7,84,\\\\ 109-110,2=-1,2 &\Rightarrow& (-1,2)^2=1,44,\\\\ 111-110,2=0,8 &\Rightarrow& 0,8^2=0,64. \end{array}
Soma dos quadrados: 0,04+4,84+7,84+1,44+0,64=14,8. Variância populacional:
\sigma^2_{\text{Beta}}=\frac{14,8}{5}=2,96.
Desvio padrão populacional:
\sigma_{\text{Beta}}=\sqrt{2,96}\approx 1,7205\\ \text{segundos}.

Passo 8

Calcular o coeficiente de variação da Equipe Beta. Média \bar{x}_{\text{Beta}}=110,2 (Passo 6) e desvio \sigma_{\text{Beta}}\approx 1,7205 (Passo 7). Então
\text{CV}_{\text{Beta}}=\frac{\sigma_{\text{Beta}}}{\bar{x}_{\text{Beta}}}\approx \frac{1,7205}{110,2}\approx 0,01561.
Em porcentagem:
\text{CV}_{\text{Beta}}\approx 1,561\%\approx 1,56\%.

Passo 9

Interpretação (aula rápida de interpretação): o coeficiente de variação mede a dispersão relativa ao valor médio. Portanto, quanto menor o \text{CV} (em %), mais consistente (menos variação relativa) é o desempenho. Aqui calculamos:
\text{CV}_{\text{Alpha}}\approx 1,29\%,\qquad \text{CV}_{\text{Beta}}\approx 1,56\%.
Esses valores mostram as variabilidades relativas de cada equipe (sem ainda declarar a conclusão final — a conclusão final vem na seção de resposta).

Resposta

Equipe Alpha — coeficiente de variação aproximadamente 1,29\% (Alpha) versus 1,56\% (Beta), logo Alpha apresentou desempenho mais consistente.

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