Questão 03. ( 2,5 pontos). João, Maria e Pedro operam três diferentes linhas de produção em uma fábrica de componentes eletrônicos. A linha de João é responsável por 50% da produção total, a linha de Maria produz 30% e a linha de Pedro contribui com
. As probabilidades de cada linha produzir peças defeituosas são de 0,05 para João, 0,10 para Maria e 0,15 para Pedro. Perguntas:
- Se um componente é retirado aleatoriamente e sabe-se que ele é defeituoso, qual a probabilidade de que ele tenha sido produzido pela linha de Pedro?
- Qual a probabilidade de um componente retirado ao acaso ser defeituoso?
Passo 1
O enunciado dá as participações na produção e as probabilidades de defeito de cada linha, e pede duas coisas. Informações fornecidas:
- A produção de João corresponde a
. - A produção de Maria corresponde a
. - A produção de Pedro corresponde a
. - Probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que veio de João:
. - Probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que veio de Maria:
. - Probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que veio de Pedro:
.
Perguntas:
- Se uma peça retirada ao acaso é defeituosa, qual a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela linha de Pedro?
- Qual a probabilidade de uma peça retirada ao acaso ser defeituosa?
Passo 2
Definimos eventos para organizar as contas (isso é importante para não se perder):
- Seja
o evento “a peça é defeituosa”. - Seja
o evento “a peça veio da linha do João”. - Seja
o evento “a peça veio da linha da Maria”. - Seja
o evento “a peça veio da linha do Pedro”.
As probabilidades a priori (participações na produção) são:
As probabilidades condicionais de defeito são:
Vou usar duas fórmulas básicas que sempre aparecem em questões assim:
- Regra da probabilidade total (para achar
):
- Teorema de Bayes (para achar
, a probabilidade pedida na pergunta 1):
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.
Passo 3
Calcular
pela regra da probabilidade total. Substituo os números dados:
Faço cada produto separadamente para ficar claro:
Agora somo:
Interpretação: a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa é
, ou seja
.
Passo 4
Agora aplico o Teorema de Bayes para achar
. A fórmula é
Substituo os valores conhecidos (
,
e o
que calculei):
Passo 5
Faço o numerador e a divisão com cuidado:
Portanto
Para simplificar a fração, multiplico numerador e denominador por
(isso elimina as vírgulas):
Agora simplifico
: ambos divididos por
dão
Como decimal,
Arredondando para quatro casas decimais fica
, ou seja aproximadamente
.
Passo 6
Resumo dos resultados já prontos para usar na prova:
- A probabilidade de que, sabendo que a peça é defeituosa, ela tenha vindo de Pedro é
(aprox. ou ). - A probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa é
(ou ).