Questão 03. ( 2,5 pontos). João, Maria e Pedro operam três diferentes linhas de produção em uma fábrica de componentes eletrônicos. A linha de João é responsável por 50% da produção total, a linha de Maria produz 30% e a linha de Pedro contribui com 20 \%. As probabilidades de cada linha produzir peças defeituosas são de 0,05 para João, 0,10 para Maria e 0,15 para Pedro. Perguntas:
  1. Se um componente é retirado aleatoriamente e sabe-se que ele é defeituoso, qual a probabilidade de que ele tenha sido produzido pela linha de Pedro?
  2. Qual a probabilidade de um componente retirado ao acaso ser defeituoso?

Passo 1

O enunciado dá as participações na produção e as probabilidades de defeito de cada linha, e pede duas coisas. Informações fornecidas:
  • A produção de João corresponde a 50\%.
  • A produção de Maria corresponde a 30\%.
  • A produção de Pedro corresponde a 20\%.
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que veio de João: 0,05.
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que veio de Maria: 0,10.
  • Probabilidade de uma peça ser defeituosa dado que veio de Pedro: 0,15.
Perguntas:
  1. Se uma peça retirada ao acaso é defeituosa, qual a probabilidade de que ela tenha sido produzida pela linha de Pedro?
  2. Qual a probabilidade de uma peça retirada ao acaso ser defeituosa?

Passo 2

Definimos eventos para organizar as contas (isso é importante para não se perder):
  • Seja D o evento “a peça é defeituosa”.
  • Seja J o evento “a peça veio da linha do João”.
  • Seja M o evento “a peça veio da linha da Maria”.
  • Seja P o evento “a peça veio da linha do Pedro”.
As probabilidades a priori (participações na produção) são:
P(J)=0,50,\quad P(M)=0,30,\quad P(P)=0,20.
As probabilidades condicionais de defeito são:
P(D\mid J)=0,05,\quad P(D\mid M)=0,10,\quad P(D\mid P)=0,15.
Vou usar duas fórmulas básicas que sempre aparecem em questões assim:
  • Regra da probabilidade total (para achar P(D)):
P(D)=P(D\mid J)P(J)+P(D\mid M)P(M)+P(D\mid P)P(P).
  • Teorema de Bayes (para achar P(P\mid D), a probabilidade pedida na pergunta 1):
P(P\mid D)=\frac{P(D\mid P)\,P(P)}{P(D)}.
Vou aplicar essas fórmulas passo a passo.

Passo 3

Calcular P(D) pela regra da probabilidade total. Substituo os números dados:
P(D)=0,05\cdot 0,50 + 0,10\cdot 0,30 + 0,15\cdot 0,20.
Faço cada produto separadamente para ficar claro:
0,05\cdot 0,50 = 0,025,
0,10\cdot 0,30 = 0,030,
0,15\cdot 0,20 = 0,030.
Agora somo:
P(D)=0,025+0,030+0,030=0,085.
Interpretação: a probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa é 0,085, ou seja 8,5\%.

Passo 4

Agora aplico o Teorema de Bayes para achar P(P\mid D). A fórmula é
P(P\mid D)=\frac{P(D\mid P)\,P(P)}{P(D)}.
Substituo os valores conhecidos ( P(D\mid P)=0,15, P(P)=0,20 e o P(D) que calculei):
P(P\mid D)=\frac{0,15\cdot 0,20}{0,085}.

Passo 5

Faço o numerador e a divisão com cuidado:
0,15\cdot 0,20 = 0,03.
Portanto
P(P\mid D)=\frac{0,03}{0,085}.
Para simplificar a fração, multiplico numerador e denominador por 1000 (isso elimina as vírgulas):
\frac{0,03}{0,085}=\frac{30}{85}.
Agora simplifico 30/85: ambos divididos por 5 dão
\frac{30}{85}=\frac{6}{17}.
Como decimal,
\frac{6}{17}\approx 0,352941\ldots
Arredondando para quatro casas decimais fica 0,3529, ou seja aproximadamente 35,29\%.

Passo 6

Resumo dos resultados já prontos para usar na prova:
  • A probabilidade de que, sabendo que a peça é defeituosa, ela tenha vindo de Pedro é \dfrac{6}{17} (aprox. 0,3529 ou 35,29\%).
  • A probabilidade de uma peça escolhida ao acaso ser defeituosa é 0,085 (ou 8,5\%).

Resposta

\dfrac{6}{17} \approx 0,3529 (aprox. 35,29\%)\n
0,085 (ou 8,5\%)

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