Questão 02
Considere a trajetória
. Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração em instante genérico
.
Passo 1
O problema dá a trajetória
e pede duas coisas:
- Determinar o vetor velocidade em instante genérico
. - Determinar o vetor aceleração em instante genérico
.
Informações relevantes fornecidas:
- As componentes da posição são
, e . - Quer-se as derivadas de primeira ordem (velocidade) e de segunda ordem (aceleração) em função de
.
Passo 2
Regra geral para derivar uma função vetorial: se
então o vetor velocidade é a derivada componente a componente:
e o vetor aceleração é a derivada da velocidade (segunda derivada de
):
Explicando a técnica que vamos usar: cada componente é uma função de
. Para funções compostas como
ou
usaremos a regra da cadeia: se
então
Passo 3
Derivada da primeira componente
.
Aplicando a regra da cadeia com
e
:
-
. -
.
Portanto
Passo 4
Derivada da segunda componente
.
Aplicando a regra da cadeia com
e
:
-
. -
.
Portanto
Passo 5
Derivada da terceira componente
.
Aqui não há composição complicada: a derivada de
é
Passo 6
Juntando as derivadas das três componentes, obtemos o vetor velocidade:
Passo 7
Agora calculamos o vetor aceleração, derivando componente a componente de
.
Primeira componente da velocidade:
.
Usando regra da cadeia:
Usando regra da cadeia:
Segunda componente da velocidade:
.
Usando regra da cadeia:
Usando regra da cadeia:
Terceira componente da velocidade:
.
Passo 8
Juntando as segundas derivadas, obtemos o vetor aceleração: