Questão 02

Considere a trajetória \overrightarrow{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{t})=\langle\boldsymbol{\operatorname { c o s }}(\mathbf{2 t}), \boldsymbol{\operatorname { s e n }}(\mathbf{2 t}), \boldsymbol{t}\rangle. Determine o vetor velocidade e o vetor aceleração em instante genérico \boldsymbol{t}.

Passo 1

O problema dá a trajetória
\overrightarrow{r}(t)=\langle \cos(2t),\\ \sin(2t),\\ t\rangle
e pede duas coisas:
  • Determinar o vetor velocidade em instante genérico t.
  • Determinar o vetor aceleração em instante genérico t.
Informações relevantes fornecidas:
  • As componentes da posição são x(t)=\cos(2t), y(t)=\sin(2t) e z(t)=t.
  • Quer-se as derivadas de primeira ordem (velocidade) e de segunda ordem (aceleração) em função de t.

Passo 2

Regra geral para derivar uma função vetorial: se
\overrightarrow{r}(t)=\langle x(t),\\ y(t),\\ z(t)\rangle,
então o vetor velocidade é a derivada componente a componente:
\overrightarrow{v}(t)=\overrightarrow{r}\,'(t)=\langle x'(t),\\ y'(t),\\ z'(t)\rangle,
e o vetor aceleração é a derivada da velocidade (segunda derivada de \overrightarrow{r}):
\overrightarrow{a}(t)=\overrightarrow{r}\,''(t)=\langle x''(t),\\ y''(t),\\ z''(t)\rangle.
Explicando a técnica que vamos usar: cada componente é uma função de t. Para funções compostas como \cos(2t) ou \sin(2t) usaremos a regra da cadeia: se f(t)=F(g(t)) então
f'(t)=F'(g(t))\cdot g'(t).

Passo 3

Derivada da primeira componente x(t)=\cos(2t).
Aplicando a regra da cadeia com F(u)=\cos u e u=2t:
  • F'(u)=-\sin u.
  • u'(t)=2.
Portanto
x'(t)=\frac{d}{dt}\cos(2t) = -\sin(2t)\cdot 2 = -2\sin(2t).

Passo 4

Derivada da segunda componente y(t)=\sin(2t).
Aplicando a regra da cadeia com F(u)=\sin u e u=2t:
  • F'(u)=\cos u.
  • u'(t)=2.
Portanto
y'(t)=\frac{d}{dt}\sin(2t) = \cos(2t)\cdot 2 = 2\cos(2t).

Passo 5

Derivada da terceira componente z(t)=t.
Aqui não há composição complicada: a derivada de t é
z'(t)=\frac{d}{dt}t = 1.

Passo 6

Juntando as derivadas das três componentes, obtemos o vetor velocidade:
\overrightarrow{v}(t)=\overrightarrow{r}\,'(t)=\langle -2\sin(2t),\\\ 2\cos(2t),\\\ 1\rangle.

Passo 7

Agora calculamos o vetor aceleração, derivando componente a componente de \overrightarrow{v}(t).
Primeira componente da velocidade: -2\sin(2t).
Usando regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\big(-2\sin(2t)\big) = -2\cdot\cos(2t)\cdot 2 = -4\cos(2t).
Segunda componente da velocidade: 2\cos(2t).
Usando regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\big(2\cos(2t)\big) = 2\cdot(-\sin(2t))\cdot 2 = -4\sin(2t).
Terceira componente da velocidade: 1.
\frac{d}{dt}(1)=0.

Passo 8

Juntando as segundas derivadas, obtemos o vetor aceleração:
\overrightarrow{a}(t)=\overrightarrow{r}\,''(t)=\langle -4\cos(2t),\\\ -4\sin(2t),\\\ 0\rangle.

Resposta

\overrightarrow{v}(t)=\langle -2\sin(2t),\\\ 2\cos(2t),\\\ 1\rangle
\overrightarrow{a}(t)=\langle -4\cos(2t),\\\ -4\sin(2t),\\\ 0\rangle

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