Calcule:
\quad \sin \left(60^{\circ}\right) \cos \left(30^{\circ}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o valor de \sin\left(60^\circ\right)\cos\left(30^\circ\right).
Informações dadas (explícitas ou implícitas): os ângulos são \,60^\circ e \,30^\circ, que são ângulos notórios onde conhecemos valores trigonométricos exatos.

Passo 2

Vamos lembrar os valores trigonométricos padrões para \,30^\circ e \,60^\circ. Um modo muito claro de obter esses valores é usar um triângulo equilátero de lado 2. Ao traçar a altura, obtemos dois triângulos retângulos congruentes com hipotenusa 2, cateto menor 1 (metade da base) e cateto maior \sqrt{3} (pela aplicação do teorema de Pitágoras). Nesses triângulos retângulos:
\text{para }30^\circ:\quad \sin\left(30^\circ\right)=\frac{1}{2},\qquad \cos\left(30^\circ\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}.
\text{para }60^\circ:\quad \sin\left(60^\circ\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},\qquad \cos\left(60^\circ\right)=\frac{1}{2}.
Explicando rápido: \sin é razão cateto oposto sobre hipotenusa e \cos é razão cateto adjacente sobre hipotenusa; no triângulo do exemplo esses comprimentos são 1,\sqrt{3},2.

Passo 3

Agora substituímos os valores conhecidos em \sin\left(60^\circ\right)\cos\left(30^\circ\right):
\sin\left(60^\circ\right)\cos\left(30^\circ\right)=\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
Multiplicando:
\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}}{2\cdot2}=\frac{3}{4}.

Passo 4

Confirmação alternativa (identidade produto-soma). Há uma identidade útil:
\sin A\cos B=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).
Aplicando com A=60^\circ e B=30^\circ:
\sin\left(60^\circ\right)\cos\left(30^\circ\right)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin 90^\circ+\sin 30^\circ\bigr)=\tfrac{1}{2}\bigl(1+\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{3}{4},
que confirma o resultado anterior.

Resposta

\tfrac{3}{4}

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