Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) o raio de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n} e (2) o intervalo de convergência (ou seja, todos os x\in\mathbb{R} para os quais a série converge).
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da série são a_n=\frac{n!}{n^{n}} para n\ge 1. Não há outras informações externas fornecidas.

Passo 2

Escolha do método: para encontrar o raio de convergência R de uma série de potências \sum a_n x^n é muito comum usar o teste da razão aplicado aos coeficientes. Há uma fórmula prática: se existir o limite
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = L,
então o raio de convergência é
R = \frac{1}{L}.
Vou aplicar exatamente isso aos nossos coeficientes a_n=\dfrac{n!}{n^{n}}. Esse método é preferível aqui porque a razão entre coeficientes simplifica muito bem.

Passo 3

Calcule a razão entre coeficientes \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Usando a_n=\dfrac{n!}{n^{n}} temos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\dfrac{(n+1)!}{(n+1)^{\,n+1}}}{\dfrac{n!}{n^{n}}} = \frac{(n+1)!\, n^{n}}{(n+1)^{\,n+1} n!}.
Simplificando (n+1)!/n! = n+1, obtemos
\frac{a_{n+1}}{a_n} = (n+1)\cdot\frac{n^{n}}{(n+1)^{\,n+1}} = \frac{n^{n}}{(n+1)^{n}} \cdot \frac{n+1}{n+1} = \left(\frac{n}{n+1}\right)^{n}.

Passo 4

Agora tiramos o limite quando n\to\infty. Reconhecemos a forma clássica
\left(\frac{n}{n+1}\right)^{n} = \left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n}.
Usamos o fato conhecido (que posso explicar se quiser) de que
\lim_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^{m-1}=e^{-1},
portanto substituindo m=n+1 obtemos
\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right)^{n} = e^{-1}.
Logo
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{1}{e}.

Passo 5

Aplicando a fórmula do raio com L=\dfrac{1}{e} obtemos
R = \frac{1}{L} = \frac{1}{1/e} = e.
Comentário didático curto: isso significa que para todo x com |x|<e a série converge absolutamente; para |x|>e diverge. As extremidades |x|=e precisam ser testadas separadamente.

Passo 6

Testando o ponto x=e. Substituímos na série e consideramos os termos gerais
t_n := \frac{n!}{n^{n}} e^{n}.
Para que a série \sum t_n convirja é necessário (condição necessária) que t_n\to 0 quando n\to\infty. Vou estudar o comportamento de t_n.

Passo 7

Para decidir o comportamento de t_n usamos a fórmula de Stirling (uma ferramenta padrão para estimar n!). A versão assintótica de Stirling diz:
n! \sim \sqrt{2\pi n}\,\left(\frac{n}{e}\right)^{n}\quad\text{quando }n\to\infty,
o que significa que o quociente entre n! e \sqrt{2\pi n}\,(n/e)^{n} tende a 1. Substituindo essa aproximação em t_n temos (de forma assintótica)
t_n = \frac{n!}{n^{n}} e^{n} \sim \frac{\sqrt{2\pi n}\,\left(\dfrac{n}{e}\right)^{n}}{n^{n}} e^{n} = \sqrt{2\pi n}\,\frac{(n/e)^{n}}{n^{n}} e^{n}.
Simplificando (n/e)^{n}/n^{n} = e^{-n}, obtemos
t_n \sim \sqrt{2\pi n}\,.
Isto significa que t_n cresce aproximadamente como \sqrt{2\pi n} e, em particular, t_n\to +\infty. Portanto os termos não tendem a zero e a série em x=e diverge.

Passo 8

Testando o ponto x=-e. Os termos da série em x=-e são (-1)^n t_n com t_n definido acima em valor absoluto. Como t_n\to+\infty (ver passo anterior) os termos em módulo não tendem a zero; então a série em x=-e também diverge. Não há cancelamento que compense o crescimento porque a condição necessária t_n\to0 falha.

Passo 9

Conclusão sobre o intervalo: a série converge absolutamente para todo x com |x|<e e diverge para |x|\ge e. Assim o intervalo de convergência (na reta real) é o intervalo aberto
(-e,e).

Resposta

Raio de convergência: \;R=e
Intervalo de convergência: \;(-e,e)

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