Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) o raio de convergência da série de potências \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n!}{n^{n}} x^{n} e (2) o intervalo de convergência (ou seja, todos os x\in\mathbb{R} para os quais a série converge).
Informações dadas que vamos usar: os coeficientes da série são a_n=\frac{n!}{n^{n}} para n\ge 1. Não há outras informações externas fornecidas.
Passo 2
Escolha do método: para encontrar o raio de convergência R de uma série de potências \sum a_n x^n é muito comum usar o teste da razão aplicado aos coeficientes. Há uma fórmula prática: se existir o limite
Vou aplicar exatamente isso aos nossos coeficientes a_n=\dfrac{n!}{n^{n}}. Esse método é preferível aqui porque a razão entre coeficientes simplifica muito bem.
Passo 3
Calcule a razão entre coeficientes \dfrac{a_{n+1}}{a_n}. Usando a_n=\dfrac{n!}{n^{n}} temos
Aplicando a fórmula do raio com L=\dfrac{1}{e} obtemos
R = \frac{1}{L} = \frac{1}{1/e} = e.
Comentário didático curto: isso significa que para todo x com |x|<e a série converge absolutamente; para |x|>e diverge. As extremidades |x|=e precisam ser testadas separadamente.
Passo 6
Testando o ponto x=e. Substituímos na série e consideramos os termos gerais
t_n := \frac{n!}{n^{n}} e^{n}.
Para que a série \sum t_n convirja é necessário (condição necessária) que t_n\to 0 quando n\to\infty. Vou estudar o comportamento de t_n.
Passo 7
Para decidir o comportamento de t_n usamos a fórmula de Stirling (uma ferramenta padrão para estimar n!). A versão assintótica de Stirling diz:
Isto significa que t_n cresce aproximadamente como \sqrt{2\pi n} e, em particular, t_n\to +\infty. Portanto os termos não tendem a zero e a série em x=e diverge.
Passo 8
Testando o ponto x=-e. Os termos da série em x=-e são (-1)^n t_n com t_n definido acima em valor absoluto. Como t_n\to+\infty (ver passo anterior) os termos em módulo não tendem a zero; então a série em x=-e também diverge. Não há cancelamento que compense o crescimento porque a condição necessária t_n\to0 falha.
Passo 9
Conclusão sobre o intervalo: a série converge absolutamente para todo x com |x|<e e diverge para |x|\ge e. Assim o intervalo de convergência (na reta real) é o intervalo aberto
(-e,e).
Resposta
Raio de convergência: \;R=e
Intervalo de convergência: \;(-e,e)