Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}} x^{2 n} \left(\right.) usar (\left.R=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\right)

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o raio de convergência da série de potências dada e (2) encontrar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de x para os quais a série converge). A série fornecida é
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^{2}} x^{2n}.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
a)\quad \text{Os coeficientes dos termos são } \frac{(2n)!}{(n!)^{2}}.ã
b)\quad \text{o termo da série é } \frac{(2n)!}{(n!)^{2}} x^{2n} \text{ (aparecem apenas potências pares de }x\text{).}ééê
c)\quad \text{O enunciado orienta a usar } R=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{|a_n|}}.
Aqui devemos interpretar corretamente o que é a_n: é o coeficiente do termo na forma padrão da série de potências. Uma maneira prática é ver a série como uma série em y=x^{2} com coefeficientes
c_n=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}},
ou seja, como \sum_{n=1}^{\infty} c_n y^n com y=x^2. A resolução começa a partir daqui.

Passo 2

Reescrevendo a série em função de y=x^{2} temos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^{2}} x^{2n} = \sum_{n=1}^{\infty} c_n y^n \quad\text{com}\quad c_n=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\;\text{e}\;y=x^2.
Explicação didática: é comum, quando só aparecem potências pares, tratar a série como uma série em y=x^2. Assim encontramos primeiro o raio de convergência em y e depois traduzimos para x. O raio em y será
R_y=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n}}.

Passo 3

Vamos calcular \limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n} onde
c_n=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}}.
Uma maneira prática é calcular a razão \dfrac{c_{n+1}}{c_n} e ver seu limite. Calculamos:
\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{(2n+2)!}{((n+1)!)^{2}}\cdot\frac{(n!)^{2}}{(2n)!} = \frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}.
Simplificando:
\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2} = \frac{2(n+1)(2n+1)}{(n+1)^2} =2\cdot\frac{2n+1}{n+1} =4-\frac{2}{n+1}.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{c_{n+1}}{c_n}=4.

Passo 4

Justificativa por que isso dá a raiz: para uma sequência positiva c_n, se \lim_{n\to\infty}\dfrac{c_{n+1}}{c_n}=L então \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n}=L. Rápida explicação (intuitiva e suficiente para prova/exame): escrevendo
c_n=c_1\prod_{k=1}^{n-1}\frac{c_{k+1}}{c_k},
tomando log e dividindo por n, a média dos \log das razões tende a \log L quando as razões tendem a L. Exponenciando volta-se a L. Assim obtemos
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n}=4.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula do enunciado para y:
R_y=\frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n}}=\frac{1}{4}.
Como y=x^2, a série converge quando |y|<R_y, ou seja quando
|x|^2 < \frac{1}{4}\quad\Longleftrightarrow\quad |x|<\frac{1}{2}.
Logo o raio de convergência em x é
R_x=\frac{1}{2}.

Passo 6

Agora examinamos os pontos na fronteira: x=\pm\frac{1}{2}. Para esses valores temos y=(\pm\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4} e a série reduz a
\sum_{n=1}^{\infty} c_n\left(\frac{1}{4}\right)^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)!}{(n!)^{2}}\left(\frac{1}{4}\right)^n.
Precisamos verificar se esta série converge. Para isso vamos estimar o comportamento assintótico de c_n. Usando a fórmula de Stirling (explicação rápida):
n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n,
então
(2n)! \sim \sqrt{4\pi n}\left(\frac{2n}{e}\right)^{2n} \quad\text{e}\quad (n!)^{2} \sim \left(\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\right)^2 = 2\pi n\left(\frac{n}{e}\right)^{2n}.
Dividindo,
c_n=\frac{(2n)!}{(n!)^{2}} \sim \frac{\sqrt{4\pi n}\,(2n)^{2n} e^{-2n}}{2\pi n\, n^{2n} e^{-2n}} = \frac{\sqrt{4\pi n}}{2\pi n}\, 2^{2n} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.
Portanto, quando multiplicamos por (1/4)^n obtemos
c_n\left(\frac{1}{4}\right)^n \sim \frac{1}{\sqrt{\pi n}}.
Como \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}} diverge (série p com p=\tfrac{1}{2}\le 1), a nossa série na fronteira também diverge. Observação: o termo é positivo, logo não há cancelamento que pudesse ajudar a convergir. Portanto em x=\frac{1}{2} a série diverge; por simetria (apenas potências pares aparecem) em x=-\frac{1}{2} ela também diverge.

Resposta

Raio de convergência: R=\dfrac{1}{2}.
Intervalo de convergência: \left(-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2}\right).

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