Questão 02.
Determine o raio de convergência das séries de potências seguintes. Em seguida, encontre o intervalo de convergência.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}} x^{2 n} \left(\right.) usar (\left.R=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\right)
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(2 n)!}{(n!)^{2}} x^{2 n} \left(\right.) usar (\left.R=\frac{1}{\limsup \sqrt[n]{\left|a_{n}\right|}}\right)
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) determinar o raio de convergência da série de potências dada e (2) encontrar o intervalo de convergência (ou seja, os valores de
para os quais a série converge). A série fornecida é
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Aqui devemos interpretar corretamente o que é
: é o coeficiente do termo na forma padrão da série de potências. Uma maneira prática é ver a série como uma série em
com coefeficientes
ou seja, como
com
. A resolução começa a partir daqui.
Passo 2
Reescrevendo a série em função de
temos
Explicação didática: é comum, quando só aparecem potências pares, tratar a série como uma série em
. Assim encontramos primeiro o raio de convergência em
e depois traduzimos para
. O raio em
será
Passo 3
Vamos calcular
onde
Uma maneira prática é calcular a razão
e ver seu limite. Calculamos:
Simplificando:
Portanto
Passo 4
Justificativa por que isso dá a raiz: para uma sequência positiva
, se
então
. Rápida explicação (intuitiva e suficiente para prova/exame): escrevendo
tomando log e dividindo por
, a média dos
das razões tende a
quando as razões tendem a
. Exponenciando volta-se a
. Assim obtemos
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula do enunciado para
:
Como
, a série converge quando
, ou seja quando
Logo o raio de convergência em
é
Passo 6
Agora examinamos os pontos na fronteira:
. Para esses valores temos
e a série reduz a
Precisamos verificar se esta série converge. Para isso vamos estimar o comportamento assintótico de
. Usando a fórmula de Stirling (explicação rápida):
então
Dividindo,
Portanto, quando multiplicamos por
obtemos
Como
diverge (série p com
), a nossa série na fronteira também diverge. Observação: o termo é positivo, logo não há cancelamento que pudesse ajudar a convergir. Portanto em
a série diverge; por simetria (apenas potências pares aparecem) em
ela também diverge.
Resposta
Raio de convergência:
Intervalo de convergência:
Intervalo de convergência: